Función masa de probabilidade

A gráfica dunha función de masa de probabilidade. Todos os valores desta función deben ser non negativos e sumar 1.

En probabilidade e estatística, unha función de masa de probabilidade (ás veces chamada función de probabilidade ou función de frecuencia ) é unha función que dá a probabilidade de que unha variable aleatoria discreta sexa exactamente igual a algún valor. Ás veces tamén se coñece como función de densidade de probabilidade discreta. A función de masa de probabilidade adoita ser o medio principal para definir unha distribución de probabilidade discreta, e estas funcións existen para variables aleatorias escalares ou multivariabeis cuxo dominio é discreto.

Unha función de masa de probabilidade difire dunha función de densidade de probabilidade (PDF) en que esta última está asociada a variables aleatorias continuas e non discretas.

O valor da variable aleatoria que ten a maior masa de probabilidade chámase moda.

Definición formal

A función de masa de probabilidade é a distribución de probabilidade dunha variable aleatoria discreta e proporciona os valores posibeis e as súas probabilidades asociadas. É a función

$p:ℝ\to [0,1]$

definida por

$p_X(x)=P(X=x)\text{ para }-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$

Cumpre que $\sum _x{p}_X(x)=1$ e $p_X(x)\ge 0.$

Exemplos

Finito

Hai tres distribucións principais como exemplo, a distribución de Bernoulli, a distribución binomial e a distribución xeométrica.

• Distribución de Bernoulli: ber(p) , úsase para modelar un experimento con só dous resultados posibles. Os dous resultados adoitan codificarse como 1 e 0. $$p_X(x)=\{\begin{array}{cc}p,& \text{se }x\text{ is 1}\\ 1-p,& \text{se }x\text{ is 0}\end{array}$$ Un exemplo sería lanzar unha moeda. Se $S$ é o espazo mostral do lanzamento dunha moeda non trucada, e $X$ é unha variable aleatoria definida en $S$ asignamos 0 a "cruz" e 1 a "cara". Dado que a moeda non está trucada, a función masa de probabilidade é $$p_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2},& x=0,\\ \frac{1}{2},& x=1,\\ 0,& x\notin \{0,1\}.\end{array}$$
• Distribución binomial, modela o número de éxitos cando alguén fai n experimentos con substitución. Cada experimento é independente, con dous resultados posibeis. A súa función masa de probabilidade é $p(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$.

  

  Función masa de probabilidade de tirar un dado. Todos os números do dado teñen a mesma probabilidade de aparecer.

  Un exemplo da distribución binomial é a probabilidade de obter exactamente un 6 cando alguén lanza un dado 3 veces: $P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})(1/6{)}^3(5/6{)}^0=(1/6{)}^3$.
• A distribución xeométrica describe o número de probas necesarias para obter un éxito. A súa función de masa de probabilidade é $p_X(k)=(1-p{)}^{k-1}p$. Un exemplo é lanzar unha moeda ata que aparece a primeira "cara". $p$ denota a probabilidade do resultado "cara", e $k$ denota o número de lanzamentos de moedas necesarios.
• Un exemplo dunha distribución discreta multivariábel, e da súa función de masa de probabilidade, é o da distribución multinomial. Aquí as variabeis aleatorias múltiples son o número de éxitos en cada unha das categorías despois dun determinado número de probas, e cada masa de probabilidade distinta de cero dá a probabilidade dunha determinada combinación de números de éxitos nas distintas categorías.

Infinito

Sería un caso nada frecuente.

A seguinte distribución exponencialmente decrecente é un exemplo dunha distribución cun número infinito de resultados posibles, todos os enteiros positivos: $$\text{Pr}(X=i)=\frac{1}{2^i}\text{for }i=1,2,3,\dots$$ A pesar do número infinito de resultados posibeis, a masa de probabilidade total é 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1, satisfacendo o requisito de probabilidade total unitaria para unha distribución de probabilidade.

Caso multivariábel

Dúas ou máis variables aleatorias discretas teñen unha función de masa de probabilidade conxunta, que dá a probabilidade de cada combinación posible de realizacións para as variabeis aleatorias.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Función de densidade.