Distribución xeométrica

Modelo:Outros homónimos A distribución xeométrica é calquera das dúas distribucións de probabilidade discretas seguintes:

• a distribución de probabilidade do número X do ensaio de Bernoulli necesaria para obter un éxito, contido no conxunto { 1, 2, 3,...} ou
• a distribución de probabilidade do número Y = X − 1 de fallos antes do primeiro éxito, contido no conxunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Propiedades

1. A distribución xeométrica non ten memoria, é dicir, $P(X>m+n|X>m)=P(X>n),$. Isto significa que se intentamos repetir o experimento ata o primeiro éxito, entón, dado que o primeiro éxito aínda non ocorreu, a distribución da variable condicionada do número de ensaios adicionais non depende de cantos fallos se observaron. De feito, a distribución xeométrica é a única distribución discreta sen memoria.
2. Se a probabilidade de éxito en cada ensaio é p, entón a de que sexan necesarios x para obter un éxito é $P(X=x)=(1-p{)}^{x-1}p$ para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, a probabilidade de que haxa x fallos antes do primeiro éxito é $P(Y=x)=(1-p{)}^{x}p$ para y = 0, 1, 2,... En ambos os casos, a secuencia é unha progresión xeométrica.
3. O valor esperado dunha variable aleatoria X distribuída xeometricamente é $E(X)=\frac{1}{p}$ e dado que Y = X-1, $E(Y)=\frac{1-p}{p}$.
4. En ambos os casos, a varianza é $\text{var}(Y)=\text{var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$.
5. As funcións xeratrices de X e a de Y son, respectivamente, $G_X(s)=\frac{sp}{1-s(1-p)}\text{y}{G}_Y(s)=\frac{p}{1-s(1-p)},|s|<(1-p{)}^{-1}$.
6. De todas estas distribucións contidas en {1, 2, 3,... } cun valor esperado dado μ, a distribución xeométrica X con parámetro p = 1/μ é a de maior entropía.
7. A distribución xeométrica do número y de fallos antes do primeiro éxito é infinitamente divisible, é dicir, para calquera enteiro positivo n, existen variables aleatorias independentes Y ₁,..., Y_n distribuídas identicamente a suma das que teñen a mesma distribución que ten Y. Estas non serán xeométricamente distribuídas agás se n = 1.

Distribucións relacionadas

A distribución xeométrica é un caso especial da distribución binomial negativa con parámetro k = 1. Máis generalmente, se Y ₁,...,Y_k son variables independentes distribuídas xeometricamente con parámetro p, entón $Z=\sum _{m=1}^k{Y}_m$ segue unha distribución binomial negativa con parámetros k e p.

Se Y₁,...,Y_r son variables independentes distribuídas xeometricamente (con diferentes parámetros de éxito p_m posibles ), entón o seu mínimo $W=\underset{m}{\min }{Y}_m$ segue tamén unha distribución xeométrica, con parámetro

$p=1-\prod _m(1-p_m)$.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Calculadora Distribución xeométrica