Fórmula cadrática

De testwiki
Saltar á navegación Saltar á procura
As raíces da función cadrática Modelo:Math ⁠ son os lugares onde a gráfica corta o eixo x, os valores x = 1 e x = 5. Pódense atopar mediante a fórmula cadrática.

En álxebra elemental, a fórmula cadrática é unha expresión en forma pechada que describe as solucións dunha ecuación cadrática. Outras formas de resolver ecuacións de segundo grao, como completar o cadrado, dan as mesmas solucións.

Dada unha ecuación cadrática xeral da forma Modelo:Tmath, sendo Modelo:Tmath unha incógnita, e coeficientes Modelo:Tmath, Modelo:Tmath, Modelo:Tmath números reais ou complexos coñecidos con Modelo:Tmath. Os valores Modelo:Tmath que satisfán a ecuación, chamadas raíces ou ceros, pódense atopar usando a fórmula cadrática,

x=−b±b2−4ac2a,

onde o símbolo máis–menos "Modelo:Tmath" indica que a ecuación ten dúas raíces. Escritos por separado, son:

x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2a.

A cantidade Modelo:Tmath coñécese como o discriminante da ecuación de segundo grao.[1] Se os coeficientes Modelo:Tmath, Modelo:Tmath, Modelo:Tmath, son números reais daquela Modelo:Tmath, a ecuación ten dúas raíces reais distintas; se Modelo:Tmath, a ecuación ten unha raíz real repetida; e se Modelo:Tmath, a ecuación non ten raíces reais mais ten dúas raíces complexas distintas, que son complexas conxugadas entre si.

Xeométricamente, as raíces representan os valores de Modelo:Tmath nos que a gráfica da función cadrática Modelo:Tmath, unha parábola, cruza o eixe Modelo:Tmath. [2] A fórmula cadrática tamén se pode usar para identificar o eixe de simetría da parábola.[3]

Obtención completando o cadrado

Para completar o cadrado, forma un binomio cadrado no lado esquerdo dunha ecuación cadrática, a partir da cal se pode atopar a solución tomando a raíz cadrada de ambos os dous lados.

A forma estándar de obter a fórmula cadrática é aplicar o método de completar o cadrado á ecuación cadrática xenérica Modelo:Tmath [4] [5] [6] [7] A idea é manipular a ecuación na forma Modelo:Tmath para expresións Modelo:Tmath e Modelo:Tmath en termos dos coeficientes; tomar a raíz cadrada de ambos os dous lados; e despois resolver Modelo:Tmath.

Comezamos dividindo a ecuación polo coeficiente cadrático Modelo:Tmath. Despois, restamos o termo constante Modelo:Tmath e pasalo para o lado dereito:

ax2|+bx+c=0x2+bax+ca=0x2+bax=−ca.

O lado esquerdo agora ten a forma x2+2kx e podemos "completar o cadrado" engadindo unha constante Modelo:Tmath e obter un cadrado x2+2kx+k2=x2+2kx+k2= Modelo:Tmath. Neste exemplo se corresponde con engadirmos Modelo:Tmath a ambos os dous lados para que o lado esquerdo se poida poñer como un binomio:

x2+2(b2a)x+(b2a)2=−ca+(b2a)2(x+b2a)2=b2−4ac4a2.

Como o lado esquerdo agora é un cadrado perfecto, podemos tomar facilmente a raíz cadrada de ambos os dous lados:

x+b2a=±b2−4ac2a.

Finalmente

x=−b±b2−4ac2a.

Significado xeométrico

En termos de xeometría de coordenadas, unha parábola é unha curva cuxos Modelo:Tmath son a gráfica dun polinomio de segundo grao, da forma Modelo:Tmath, onde Modelo:Tmath, Modelo:Tmath, Modelo:Tmath son coeficientes constantes de valor real con Modelo:Tmath.

Xeométricamente, a fórmula cadrática define os puntos Modelo:Tmath na gráfica, onde a parábola cruza o eixo Modelo:Tmath. Ademais, pódese dividir en dous termos,

x=−b±b2−4ac2a=−b2a±b2−4ac2a.

O primeiro termo x=−b2a describe o eixe de simetría, o segundo termo, b2−4ac/2a, dá a distancia que están as raíces do eixe de simetría.

Se o vértice da parábola está no eixo Modelo:Tmath, entón a ecuación correspondente ten unha única raíz repetida na liña de simetría e este termo de distancia é cero; alxebricamente, o discriminante Modelo:Tmath.

Se o discriminante é positivo, entón o vértice non está exactamente sobre o eixo Modelo:Tmath mais a parábola ábrese na dirección do eixo Modelo:Tmath, cruzándoo dúas veces, polo que a ecuación correspondente ten dúas raíces reais. Se o discriminante é negativo, a parábola ábrese na dirección oposta, sen cruzar nunca o eixo Modelo:Tmath, e a ecuación non ten raíces reais; neste caso, as dúas raíces con valores complexos serán conxugados complexos cuxa parte real é o Modelo:Tmath do eixe de simetría.

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Modelo:Commonscat

Bibliografía

Outros artigos

Modelo:Control de autoridades

  1. ↑ Modelo:Cita web
  2. ↑ Modelo:Cita web
  3. ↑ Modelo:Cita web
  4. ↑ Modelo:Cita libro
  5. ↑ Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
  6. ↑ Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
  7. ↑ Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
Obtido de «https://gl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Fórmula_cadrática&oldid=1511»