Ecuación de Liénard

A ecuación de Liénard é unha ecuación diferencial ordinaria estudada en profundidade polo físico Alfred-Marie Liénard no seu artigo de 1928. Esta ecuación ten interese, dentro dos sistemas dinámicos, en problemas de circuítos eléctricos, acústica e no desenvolvemento da radio. Esta ecuación xeneraliza os osciladores lineais.

Para esta ecuación, Liénard encontrou condicións suficientes sobre as funcións coeficiente para garantir a existencia e unicidade de ciclo límite para os sistemas planos asociados. Este resultado, que recibe o nome de Teorema de Liénard, pódese aplicar, por exemplo, ao oscilador de Van der Pol.

Definición

Denomínase ecuación de Liénard a unha ecuación diferencial de segunda orde da forma

$x^{″}+f(x)x^{\prime }+g(x)=0.$

Teorema de Liénard

Sexan $f,g:ℝ\to ℝ$ dúas funcións de clase 1. Se se satisfan as seguintes condicións,

• A función $f$ é par e a función $g$ é impar,
• $xg(x)>0$ para todo $x$ non nulo,
• $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(u)du$ ten exactamente unha raíz positiva en $x=a$, é negativa en $(0,a)$, positiva e monótona crecente en $(a,+\mathrm{\infty })$ e tal que $F(x)\stackrel{x\to \mathrm{\infty }}{⟶}\mathrm{\infty }$,

entón o sistema asociado á ecuación de Liénard ten un único ciclo límite que é asintóticamente estable.

Pódese consultar a demostración deste resultado en .

Aplicación ao oscilador de van der Pol

O oscilador de van der Pol segue unha ecuación da forma

$x^{″}+\mu (x^2-1)x^{\prime }+x=0.$

Pódese comprobar que esta ecuación está nas condicións do Teorema de Liénard para calquera valor de $\mu$ positivo.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:PlanetMath