Derivación (matemática)

Para a derivación en cálculo, véxase Derivada.

Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica.

Derivación.

A derivación, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.

É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.

Definición de derivación

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel e $p\in M$, chamaremos derivación no punto $p$ a

$\mathrm{\forall }{\delta }_p:ℱ(M)⟶ℝ$ aplicación $ℝ-$ lineal, é dicir:

$\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M)$, $\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$,

• ${\delta }_p(g+f)={\delta }_p(g)+{\delta }_p(f)$,

• ${\delta }_p(\lambda f)=\lambda {\delta }_p(f)$.

e tal que ${\delta }_p(f\cdot g)={\delta }_p(f)g_{|p}+f_{|p}{\delta }_p(g)$, $\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M)$, é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.

Observación

$ℱ(M)$ é o conxunto de funcións diferenciábeis en $M$, e é un $ℝ-$ álxebra conmutativa, (é un $ℝ-$espazo vectorial).

$f_{|p}$ é equivalente a $f(p)$, é dicir, $f$ avaliado no punto $p$.

Exemplos de derivación

A derivada parcial

Sexa $M={ℝ}^n$ e $p\in M$, vexamos que a aplicación seguinte é derivación:

$\begin{array}{cccc}{\frac{\partial \cdot }{\partial x_i}}_{|p}:& ℱ(M)& ⟶& ℝ.\\ & f& \mapsto & {\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}\end{array}$

Demostración:

Vexamos primeiro que é $ℝ-$lineal, é dicir, que $\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M)$ e $\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$ vemos que:

• ${\frac{\partial (f+g)}{\partial x_i}}_{|p}={\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}+{\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p}$,

• ${\frac{\partial (\lambda g)}{\partial x_i}}_{|p}=\lambda {\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p}$.

Vexamos finalmente que é unha derivación:

${\frac{\partial (f\cdot g)}{\partial x_i}}_{|p}={\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}{g}_{|p}+f_{|p}{\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p}$.

Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.

A derivada direccional

Sexa $M={ℝ}^n$, $p\in M$ e $v\in M:\Vert v\Vert =1$, pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:

$\begin{array}{cccc}{\frac{\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:& ℱ(M)& ⟶& ℝ\\ & f& \mapsto & {\frac{\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{array}$.

Definicións

Plano tanxente.

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel e $p\in M$, chamaremos espazo tanxente a $M$ en $p$ ao $ℝ-$espazo vectorial das derivacións de $M$ en $p$, notado por ${𝒯}_{p}M$, e os seus elementos chamaranse vectores tanxentes a $M$ en $p$.

Consecuencias

Propiedade da derivación dunha función localmente constante

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel, $p\in M$, $\mathrm{\forall }{\delta }_p\in {𝒯}_{p}M$ e $f\in ℱ(M)$ tal que $\mathrm{\exists }U$ contorno aberto en $p$ onde $f(x)=\lambda$, $\mathrm{\forall }x\in M$, entón temos que ${\delta }_{p}f=0$.

Demostración:

Por linealidade de ${\delta }_p$ temos

${\delta }_p(f)={\delta }_p(\lambda )={\delta }_p(\lambda \cdot 1)=\lambda {\delta }_p(1)$,

aquí, aplicando a condición de derivación a ${\delta }_p(1)$ temos

${\delta }_p(1)={\delta }_p(1\cdot 1)={\delta }_p(1)1+1{\delta }_p(1)={\delta }_p(1)+{\delta }_p(1)$,

de simplificar este último, resulta ${\delta }_p(1)=0$, aplicándoo ao anterior resulta que ${\delta }_p(f)=0$.

Exemplo

Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$:

• a función meseta $\rho$ asociada a $(p,V)$, onde $\rho (x)=1,$ $\mathrm{\forall }x\in k\subset V,k$ compacto cuxo interior contén a $p$.

Propiedade da derivación do produto coa función meseta

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel, $p\in M$, $\mathrm{\forall }{\delta }_p\in {𝒯}_{p}M$, $f\in ℱ(M)$ e $\rho$ unha función meseta asociada a $(p,V)$, temos que:

${\delta }_p(\rho \cdot f)={\delta }_p(f)$.

Demostración:

Aplicando a regra de Leibniz temos que ${\delta }_p(\rho \cdot f)={\delta }_p(\rho )f(p)+\rho (p){\delta }_p(f)$, pola propiedade anterior temos que ${\delta }_p(\rho \cdot f)=0\cdot f(p)+1\cdot {\delta }_p(f)={\delta }_p(f).$

Propiedade

Sexa $M$ unha variedade diferenciábel, $p\in M,\mathrm{\forall }{\delta }_p\in {𝒯}_{p}M$ e $f,g\in ℱ(M)$ tal que $\mathrm{\exists }V$ contorno aberto en $p$ onde $f_{|V}=g_{|V}$, entón temos que:

${\delta }_p(f)={\delta }_p(g)$.

Demostración:

Sexa $\rho$ unha función meseta asociada a $(p,V)$, temos así que $\rho \cdot f=\rho \cdot g$ en todo $M$ tamén $\rho \cdot f,\rho \cdot g\in ℱ(M)$ por tanto ${\delta }_p(\rho \cdot f)={\delta }_p(\rho \cdot g)$, e pola propiedade anterior temos que ${\delta }_p(f)={\delta }_p(g)$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.