Límite dunha función

O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.

Historia

Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta. Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática. A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860 e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

Definición formal

Funcións dunha variable real

Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.

Se a función $f$ ten límite $L$ en $c$ podemos dicir de maneira informal que a función $f$ tende cara ao límite $L$ próximo a $c$ se se pode facer que $f(x)$ sexa tan próximo como queiramos de $L$ dándolle valores a $x$ para que sexa o suficientemente parecido a $c$ mais sendo $x$ distinto de $c$.

Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:

O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que para todo número real x no dominio da función $0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$.

Isto, escrito en notación formal:

$\begin{array}{c}\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0/\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}(f),0<|x-c|<\delta ⟶|f(x)-L|<ϵ\end{array}$

Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.

Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet $D:ℝ\to ℝ$ definida como: Modelo:Ecuación onde non existe un número c para o cal exista $\underset{x\to c}{\lim }f(x)$. Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.

Límites laterais

O límite cando: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Polo tanto, o límite cando x → x₀ non existe.

x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):

$\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=L^{+}$

ou tomando valores máis pequenos (esquerda):

$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=L^{-}$

Se os dous límites anteriores son iguais:

$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=L$

entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.

Funcións en espazos métricos

Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:

Supóñase f : (M, d_M) → (N, d_N) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e L∈N. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, c) < δ, temos d_N(f(x), L) < ε.

En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

$0<|x-c|<\delta$ , entón $|f\left(x\right)-L|<ϵ$

Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:

1. x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
2. x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
3. A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).

Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.

Unicidade do límite

Se o límite dunha función existe, entón este é único. Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.

Supoñamos que $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$, vexamos que non pode ser que $L^{\prime }\ne L$ tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite $f(x)\in E$ para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

Propiedades dos límites

Propiedades xerais

Se k é un escalar:

Límite de	Expresión
Unha constante	$\underset{x\to c}{\lim }k=k$
A función identidade	$\underset{x\to c}{\lim }x=c$
O produto dunha función e unha constante	$\underset{x\to c}{\lim }kf(x)=k\underset{x\to c}{\lim }f(x)$
Unha suma	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to c}{\lim }f(x)+\underset{x\to c}{\lim }g(x)$
Unha resta	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{\lim }f(x)-\underset{x\to c}{\lim }g(x)$
Un produto	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)g(x))=\underset{x\to c}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to c}{\lim }g(x)$
Un cociente	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to c}{\lim }f(x)}{\underset{x\to c}{\lim }g(x)}\text{si }\underset{x\to c}{\lim }g(x)\ne 0,$
Unha potencia	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\underset{x\to c}{\lim }g(x)}\text{si }f(x)>0$
Un logaritmo	$\underset{x\to c}{\lim }\log f(x)=\log \underset{x\to c}{\lim }f(x)$
O número e	$\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$
Función f(x) acoutada e g(x) infinitesimal	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=0$.

Indeterminacións

Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere $\mathrm{\infty }$ como o límite que tende a infinito e $0$ o límite cando tende a 0; e non o número 0):

Operación	Indeterminación
Subtracción	$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$
Multiplicación	$\mathrm{\infty }\cdot 0$
División	$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},\frac{0}{0}$
Elevación a potencia	$1^{\mathrm{\infty }},{\mathrm{\infty }}^0,0^0$

Exemplo.

0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{t^2}=\mathrm{\infty }$

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{t}=1$

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t^2}{t}=0$

Regra de l'Hôpital

Modelo:Artigo principal Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞. Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.

• $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Por exemplo: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (2x)}{\sin (3x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos (2x)}{3\cos (3x)}=\frac{2\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}.$

Límites trigonométricos

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\sin \left(\frac{2\pi }{x}\right)\cos \left(\frac{2\pi }{x}\right)=2\pi$
2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$
3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\tan x}=1$
4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{\tan x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{\sin x}=1$
5. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=1/2$

Demostracións

Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$

Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

Calculando o límite cando x tende a 0:

$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x<\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}<\underset{x\to 0}{\lim }1$

O que é igual a:

$1<\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}<1$

Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\tan x}{x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}\right)\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}=1\cdot 1=1$

Véxase tamén

• Límite matemático
• Límite superior e límite inferior
• Topoloxía de rede, unha xeneralización do concepto de límite.

Ligazóns externas

• Límites e continuidade de funcións Modelo:Webarchive Modelo:Es
• Límite en MathWorld Modelo:En

Modelo:Control de autoridades