Función convexa

${\displaystyle }$

Gráfico dunha función convexa

En matemática, unha función $[a,b]\to ℝ$ é dita convexa se a rexión sobre o seu gráfico é un conxunto convexo. Ou, equivalentemente, de forma analítica, para calquera x e y pertencentes a $[a,b]$ e para todo t en $[0,1]$, tense

$f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y).$

Unha función dise estritamente convexa se :

$f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)$ para todo $t$ en (0,1) e $x\ne y$.

Propiedades das funcións convexas

• Unha función convexa en $[a,b]$ é sempre continua en $(a,b)$.
• Unha función continua nun intervalo C é convexa se e só se:

$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{f(x)+f(y)}{2}.$ para todo $x,y$ ∈ $C$.

• Unha función diferenciábel é convexa nun intervalo se e só se a súa derivada é monótona non decrecente nese intervalo.
• Unha función continuamente diferenciábel dunha variábel é convexa nun intervalo, se e só se:

$f(y)\ge f(x)+f^{\prime }(x)(y-x)$, para todos x e y no intervalo.

• Unha función dúas veces diferenciábel dunha variábel é convexa nun intervalo se e só se, a súa segunda derivada é maior ou igual a cero en todo o intervalo.
• Se a súa segunda derivada é estritamente positiva entón a función é estritamente convexa.
• Unha función convexa non posúe puntos de máximo.
• Se unha función convexa posúe un punto de mínimo local, el tamén será un punto de mínimo global.
• Unha función estritamente convexa posúe como moito un punto de mínimo.
• O máximo de funcións convexas tamén é unha función convexa.

Exemplos

• A función $f(x)=x^2$ é convexa.
• A función $f(x)=e^x$ é convexa.
• O valor absoluto é unha función convexa $(f(x)=|x|)$

Extensións

Sexa $𝕍$ un espazo vectorial e $C$ un conxunto convexo contido en $𝕍$, entón unha función $f:C\to ℝ$ é dita convexa se:

$f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$ para todo $t$ en [0,1].

E estritamente convexa se:

$f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)$ para todo $t$ en (0,1) e $x\ne y$.

Exemplos

• Toda norma ou seminorma é convexa, pola desigualdade triangular
• Todo funcional lineal en $ℝ.$ é convexo.

Aplicacións

• Funcións convexas son amplamente utilizadas para demostrar desigualdades tales como a desigualdade de Young.
• A convexidade desempeña un papel moi importante na aplicación de métodos variacionais para EDPs non lineais.

Véxase tamén

Outros artigos

• Desigualdade de Jensen