Derivada total

En matemáticas, a derivada total dunha función Modelo:Mvar nun punto é a mellor aproximación linear preto deste punto da función en relación aos seus argumentos. A diferenza das derivadas parciais, a derivada total aproxima a función en relación a todos os seus argumentos, non só a un. En moitas situacións, isto é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente.

Sería a derivada dunha función de varias variábeis en relación a unha delas, sen manter constantes as demais.

O termo "derivada total" úsase principalmente cando Modelo:Mvar é unha función de varias variábeis, porque cando Modelo:Mvar é unha función dunha única variábel, a derivada total é a mesma que a derivada ordinaria da función.Modelo:Rp

A derivada total incorpora estas dependencias indirectas sobre t (é dicir, x(t) e y(t)) para describir a dependencia de f sobre t.

Operador \ Función	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Diferencial	1: $\mathrm{d}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$	2: ${\mathrm{d}}_{x}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$ 3: $\mathrm{d}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x+f{\text{'}}_y\mathrm{d}y+f{\text{'}}_u\mathrm{d}u+f{\text{'}}_v\mathrm{d}v$
Derivada parcial	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}}{=}\frac{{\mathrm{d}}_{x}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}$
Derivada total	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x$	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x+f{\text{'}}_u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+f{\text{'}}_v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x};(f{\text{'}}_y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0)$

A derivada total como unha aplicación linear

Sexa $U\subseteq {ℝ}^n$ un subconxunto aberto. Entón, dise que unha función $f:U\to {ℝ}^m$ é diferenciábel (totalmente) nun punto $a\in U$ se existe unha aplicación linear $d{f}_a:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ tal que

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\Vert f(x)-f(a)-d{f}_a(x-a)\Vert }{\Vert x-a\Vert }=0.$

A aplicación linear $d{f}_a$ chámase derivada (total) ou diferencial (total) de $f$ en $a$. Outras notacións para a derivada total inclúen $D_{a}f$ e $Df(a)$. Unha función é diferenciábel (totalmente) se a súa derivada total existe en cada punto do seu dominio.

Conceptualmente, a definición da derivada total expresa a idea de que $d{f}_a$ é a mellor aproximación linear a $f$ no punto $a$. Isto pódese precisar cuantificando o erro na aproximación linear determinada por $d{f}_a$. Para facelo, escríbese

$f(a+h)=f(a)+d{f}_a(h)+\epsilon (h),$

onde $\epsilon (h)$ é igual ao erro na aproximación. Dicir que a derivada de $f$ en $a$ é $d{f}_a$ é equivalente á afirmación

$\epsilon (h)=o(\Vert h\Vert ),$

onde $o$ é a notación o pequena e indica que $\epsilon (h)$ é moito máis pequeno que $\Vert h\Vert$ cando $h\to 0$. A derivada total $d{f}_a$ é a única aplicación linear para a cal o termo de erro é tan pequeno, e este é o sentido no que é a mellor aproximación linear a $f$.

A función $f$ é diferenciábel se e só se cada unha das súas compoñentes $f_i:U\to ℝ$ é diferenciábel, polo que, ao estudar derivadas totais, a miúdo é posíbel traballar unha coordenada de cada vez no codominio. Se todas as derivadas parciais de $f$ en $a$ existen e son continuas nunha veciñanza de $a$, entón $f$ é diferenciábel en $a$. Cando isto ocorre, ademais, a derivada total de $f$ é a aplicación linear correspondente á matriz jacobiana de derivadas parciais nese punto.

A derivada total como unha forma diferencial

Cando a función en cuestión é de valor real, a derivada total pode reformularse usando formas diferenciais.

Por exemplo, supoña que $f:{ℝ}^n\to ℝ$ é unha función diferenciábel de variábeis $x_1,\dots ,x_n$. A derivada total de $f$ en $a$ pódese escribir en termos da súa matriz jacobiana, que neste caso é unha matriz fila:

$D{f}_a=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)& \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\end{array}\right].$

A propiedade de aproximación linear da derivada total implica que se

$\mathrm{\Delta }x={\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }{x}_1& \cdots & \mathrm{\Delta }{x}_n\end{array}\right]}^{𝖳}$

é un vector pequeno (onde o $𝖳$ denota a transposta, de xeito que este vector é un vector columna), entón

$f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)\approx D{f}_a\cdot \mathrm{\Delta }x=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\cdot \mathrm{\Delta }{x}_i.$

Heuristicamente, isto suxire que se $d{x}_1,\dots ,d{x}_n$ son incrementos infinitesimals nas direccións das coordenadas, entón

$d{f}_a=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\cdot d{x}_i.$

Supoña agora que $f$ é unha función vectorial, é dicir, $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$. Neste caso, as compoñentes $f_i$ de $f$ son funcións de valor real, polo que teñen formas diferenciais asociadas $d{f}_i$. A derivada total $df$ combina estas formas nun único obxecto e, polo tanto, é un exemplo dunha forma diferencial vectorial.

A regra da cadea para derivadas totais

A regra da cadea ten unha formulación particularmente elegante en termos de derivadas totais. Di que, para dúas funcións $f$ e $g$, a derivada total da composición de funcións $f\circ g$ en $a$ satisfai

$d(f\circ g{)}_a=d{f}_{g(a)}\cdot d{g}_a.$

Se as derivadas totais de $f$ e $g$ se identifican coas súas matrices xacobianas, entón a composición do lado dereito é simplemente a multiplicación de matrices. Isto é enormemente útil en aplicacións, xa que permite ter en conta dependencias esencialmente arbitrarias entre os argumentos dunha función composta.

Exemplo: Diferenciación con dependencias directas

Supoña que f é unha función de dúas variábeis, x e y. Se estas dúas variábeis son independentes, de xeito que o dominio de f é ${ℝ}^2$, entón o comportamento de f pódese entender en termos das súas derivadas parciais nas direccións x e y.

No entanto, nalgúns casos, x e y poden ser dependentes. Por exemplo, pode ocorrer que f estea restrinxida a unha curva $y=y(x)$. Neste caso, estamos realmente interesados no comportamento da función composta $f(x,y(x))$. A derivada parcial de f en relación a x non dá a verdadeira taxa de cambio de f en relación ao cambio de x, porque mudar x necesariamente muda y. Porén, a regra da cadea para a derivada total ten en conta estas dependencias.

Se temos $\gamma (x)=(x,y(x))$. Entón, a regra da cadea di

$d(f\circ \gamma {)}_{x_0}=d{f}_{(x_0,y(x_0))}\cdot d{\gamma }_{x_0}.$

Expresando a derivada total usando matrices xacobianas, isto convértese en:

$\frac{df(x,y(x))}{dx}(x_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y(x_0))\cdot \frac{dx}{dx}(x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y(x_0))\cdot \frac{dy}{dx}(x_0).$

Suprimindo a avaliación en $x_0$ para maior claridade, tamén podemos escribir isto como

$\frac{df(x,y(x))}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}.$

Isto dá unha fórmula directa para a derivada de $f(x,y(x))$ en termos das derivadas parciais de $f$ e da derivada de $y(x)$.

Por exemplo, supoña

$f(x,y)=xy.$

A taxa de cambio de f en relación a x é normalmente a derivada parcial de f en relación a x; neste caso,

$\frac{\partial f}{\partial x}=y.$

No entanto, se y depende de x, a derivada parcial non dá a verdadeira taxa de cambio de f a medida que x cambia, porque a derivada parcial asume que y é fixo. Supoña que estamos restrinxidos á liña

$y=x.$

Entón

$f(x,y)=f(x,x)=x^2,$

e a derivada total de f respecto a $x$ é

$\frac{df}{dx}=2x,$

que vemos que non é igual á derivada parcial $\partial f/\partial x$ que era $y$. En vez de substituír inmediatamente $y$ en termos de $x$, tamén podemos usar a regra da cadea como antes:

$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=y+x\cdot 1=x+y=2x.$

Exemplo: Diferenciación con dependencias indirectas

Aínda que a miúdo se poden realizar substitucións para eliminar dependencias indirectas, a regra da cadea proporciona unha técnica máis eficiente e xeral.

Supoña que $L(t,x_1,\dots ,x_n)$ é unha función do tempo $t$ e $n$ variábeis $x_i$ que dependen do tempo. Entón, a derivada temporal de $L$ é

$\frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}L(t,x_1(t),\dots ,x_n(t)).$

A regra da cadea expresa esta derivada en termos das derivadas parciais de $L$ e as derivadas temporais das funcións $x_i$:

$\frac{dL}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{d{x}_i}{dt}=(\frac{\partial }{\partial t}+\sum _{i=1}^n\frac{d{x}_i}{dt}\frac{\partial }{\partial x_i})(L).$

Esta expresión úsase a miúdo en física para unha transformación de escala do lagrangiano, xa que dous lagrangianos que difiren só pola derivada temporal total dunha función do tempo e as $n$ coordenadas xeneralizadas levan ás mesmas ecuacións de movemento. Un exemplo interesante refírese á resolución da causalidade na teoría simétrica no tempo de Wheeler-Feynman.

O operador entre parénteses (na expresión final anterior) tamén se chama operador de derivada total (en relación a $t$).

Por exemplo, a derivada total de $f(x(t),y(t))$ é

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.$

Aquí non hai un termo $\partial f/\partial t$ xa que $f$ non depende directamente de $t.$

Véxase tamén

Bibliografía

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. Modelo:Isbn
• De thesaurus.maths.org total derivative

Outros artigos

• Modelo:Annotated link, xeneralización de derivada total
• Modelo:Annotated link

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Ronald D. Kriz (2007) Envisioning total derivatives of scalar functions of two dimensions using raised surfaces and tangent planes de Virginia Tech