Función croque

A gráfica da función croque $(x,y)\in {ℝ}^2\mapsto \mathrm{\Psi }(r),$ onde $r={(x^2+y^2)}^{1/2}$ e $\mathrm{\Psi }(r)=e^{-1/(1-r^2)}\cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{|r|<1\}}.$

En matemáticas, unha función croque (tamén chamada función vulto ou función de test, en inglés: Bump function) é unha función $f:{ℝ}^n\to ℝ$ nun espazo euclidiano ${ℝ}^n$ que é suave (no sentido de ter derivadas continuas de todas as ordes) e con soporte compacto. O conxunto de todas as funcións croque con dominio ${ℝ}^n$ forma un espazo vectorial, denotado ${\mathrm{C}}_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ ou ${\mathrm{C}}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n).$ O espazo dual deste espazo dotado dunha topoloxía adecuada é o espazo de distribucións.

Exemplos

A función croque unidimensional $\mathrm{\Psi }(x).$

A función $\mathrm{\Psi }:ℝ\to ℝ$ dada por $$\mathrm{\Psi }(x)=\{\begin{array}{cc}\exp \left(\frac{1}{x^2-1}\right),& \text{ se }|x|<1,\\ 0,& \text{ se }|x|\ge 1,\end{array}$$

é un exemplo dunha función croque nunha dimensión. Note que o soporte desta función é o intervalo pechado $[-1,1]$. De feito, por definición de soporte, temos que $\mathrm{supp}(\mathrm{\Psi }):=\overline{\{x\in ℝ:\mathrm{\Psi }(x)\ne 0\}}=\overline{(-1,1)}$, onde o pechamento tómase en relación á topoloxía euclidiana da recta real.

A demostración da suavidade segue as mesmas liñas que para a función relacionada discutida no artigo Función suave non analítica. Esta función pode interpretarse como a función gaussiana $\exp (-y^2)$ escalada para caber no disco unidade: a substitución $y^2=1/(1-x^2)$ corresponde a enviar $x=\pm 1$ a $y=\mathrm{\infty }.$

Un exemplo simple dunha función croque en $n$ variábeis obtense tomando o produto de $n$ copias da función croque anterior nunha variábel, así $$\mathrm{\Phi }(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\mathrm{\Psi }(x_1)\mathrm{\Psi }(x_2)\cdots \mathrm{\Psi }(x_n).$$

Unha función croque radialmente simétrica en $n$ variábeis pode formarse tomando a función ${\mathrm{\Psi }}_n:{ℝ}^n\to ℝ$ definida por ${\mathrm{\Psi }}_n(𝐱)=\mathrm{\Psi }(|𝐱|)$. Esta función está soportada na bola unidade centrada na orixe.

Para outro exemplo, tome unha función $h$ que é positiva en $(c,d)$ e cero noutro caso, por exemplo

$h(x)=\{\begin{array}{cc}\exp (-\frac{1}{(x-c)(d-x)}),& c<x<d\\ 0,& \text{en caso contrario}\end{array}$.

Funcións de transición suave

A función suave non analítica f(x) considerada no artigo.

Considere a función

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x}}& \text{se }x>0,\\ 0& \text{se }x\le 0,\end{array}$

definida para todo número real x.

A transición suave g de 0 a 1 definida aquí.

A función

$g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},x\in ℝ,$

ten un denominador estritamente positivo en toda a recta real, polo que g tamén é suave. A maiores, g(x) = 0 para x ≤ 0 e g(x) = 1 para x ≥ 1, polo que proporciona unha transición suave do nivel 0 ao nivel 1 no intervalo unidade [0, 1]. Para ter a transición suave no intervalo real [a, b] con a < b, considere a función

$ℝ\ni x\mapsto g\left(\frac{x-a}{b-a}\right).$

Para números reais Modelo:Math, a función suave

$ℝ\ni x\mapsto g\left(\frac{x-a}{b-a}\right)g\left(\frac{d-x}{d-c}\right)$

é igual a 1 no intervalo pechado [b, c] e desaparece fóra do intervalo aberto (a, d), polo que pode servir como unha función croque.

Debe terse coidado xa que, por exemplo, tomando $\{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}$, obtense:

$q(x)=\frac{1}{1+e^{\frac{1-2|x|}{x^2-|x|}}}$

que non é unha función infinitamente diferenciábel (polo tanto, non é "suave"), polo que as restricións Modelo:Math deben cumprirse estritamente.

Algúns feitos interesantes sobre a función:

$q(x,a)=\frac{1}{1+e^{\frac{a(1-2|x|)}{x^2-|x|}}}$

son que $q(x,\frac{\sqrt{3}}{2})$ produce curvas de transición suave con beiras de pendente "case" constante (unha función croque con pendentes rectas verdadeiras represéntase neste outro exemplo: Ecuación diferencial con retardo).

Un exemplo adecuado dunha función croque suave sería:

$u(x)=\{\begin{array}{c}1,\text{se }x=0,\\ 0,\text{se }|x|\ge 1,\\ \frac{1}{1+e^{\frac{1-2|x|}{x^2-|x|}}},\text{en caso contrario},\end{array}$

Un exemplo adecuado dunha función de transición suave sería:

$w(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{1+e^{\frac{2x-1}{x^2-x}}}& \text{se }0<x<1,\\ 0& \text{se }x\le 0,\\ 1& \text{se }x\ge 1,\end{array}$

onde se pode notar que tamén se pode representar mediante funcións hiperbólicas:

Unha ilustración dos conxuntos na construción.

$\frac{1}{1+e^{\frac{2x-1}{x^2-x}}}=\frac{1}{2}(1-\tanh \left(\frac{2x-1}{2(x^2-x)}\right))$

Existencia de funcións croque

É posíbel construír funcións croque "a medida". Formalmente, se $K$ é un conxunto compacto arbitrario en $n$ dimensións e $U$ é un conxunto aberto que contén a $K,$ existe unha función croque $\varphi$ que é $1$ en $K$ e $0$ fóra de $U.$ Dado que $U$ pode tomarse como unha veciñanza moi pequena de $K,$ isto equivale a ser capaz de construír unha función que é $1$ en $K$ e decae rapidamente a $0$ fóra de $K,$ mentres segue a ser suave.

Véxase tamén

Bibliografía

• Nestruev, Jet. (10 setembro 2020). "Smooth Manifolds and Observables. Graduate Texts in Mathematics". Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718

Outros artigos

• Función suave