Teorema de Goldbach-Euler

En matemáticas, o teorema de Goldbach-Euler (tamén coñecido como teorema de Goldbach), afirma que a suma de 1/( p − 1) sobre o conxunto de potencias perfectas p, excluíndo 1 e omitindo repeticións, converxe a 1:

$\sum _p^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1.$

Este resultado foi publicado por primeira vez no artigo de Euler de 1737 " Variae observations circa series infinitas". Euler atribuíu o resultado a unha carta (agora perdida) de Goldbach.

Proba

A proba orixinal de Goldbach a Euler implicaba asignar unha constante á serie harmónica: $x={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$, que é diverxente . Tal proba non se considera rigorosa polos estándares modernos. Hai unha gran semellanza entre o método de creba de potencias empregado na súa demostración e o método de factorización usado para derivar a fórmula do produto de Euler para a función zeta de Riemann.

Sexa $x$

$x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$

Xa que a suma do recíproco de toda potencia de 2 é $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$, restando os termos con potencias de 2 de $x$ dá

$x-1=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots$

Repetimos o proceso cos termos coas potencias de 3: $\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots$

$x-1-\frac{1}{2}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\cdots$

Agora están ausentes da suma anterior todos os termos con potencias de 2 e 3. Continuamos a eliminar termos con potencias de 5, 6 e así sucesivamente ata que o lado dereito se esgote ata o valor de 1. Finalmente, obtemos a ecuación

$x-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{9}-\cdots =1$

na que reordenamos

$x-1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\cdots$

onde os denominadores consisten en todos os enteiros positivos que son as non potencias menos 1. Restando a ecuación anterior da definición de $x$ dado anteriormente, obtemos

$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots$

onde os denominadores consisten agora só en potencias perfectas menos 1.

Aínda que carece de rigor matemático, a demostración de Goldbach proporciona un argumento razoablemente intuitivo para a verdade do teorema. As probas rigorosas requiren un tratamento axeitado e máis coidadoso dos termos diverxentes da serie harmónica.

Demostración rigorosa

Esta demostración utiliza o feito de que podemos reducir o problema á suma dos recíprocos das potencias perfectas con repeticións, que é igual a 1.

De feito podemos notar que unha potencia perfecta son os enteiros $a⩾2$ que non son potencia perfecta elevados a unha potencia $⩾2$.

A suma solicitada é, polo tanto, igual a $S=\sum _{a\in Q}\sum _{k⩾2}\frac{1}{a^k-1}$ onde $Q$ é o conxunto dos números que non son potencias perfectas.

Segundo a fórmula de unha serie xeométrica, podemos escribir $S=\sum _{a\in Q}\sum _{k⩾2}\sum _{i⩾1}\frac{1}{a^{ik}}$; pero o $a^i$ onde $a⩾2$ non é unha potencia perfecta e $i$ un enteiro $⩾1$ realmente cobre todos os $⩾2$ enteiros. Entón, $S=\sum _{n⩾2}\sum _{k⩾2}\frac{1}{n^k}$ que é igual a 1 (ver tamén potencia perfecta):

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k}=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k}=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\left(\frac{n}{n-1}\right)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n-1)}=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=1.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita xornal.
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Lista de sumas de recíprocos.

Modelo:Control de autoridades