Potencia perfecta

Mostra, con regletas Cuisenaire, da natureza de potencia perfecta de 4, 8 e 9

En matemáticas, unha potencia perfecta é un número natural que é un produto de factores naturais iguais, ou, noutras palabras, un número enteiro que se pode expresar como un cadrado ou unha potencia enteira superior doutro enteiro maior que un. Máis formalmente, n é unha potencia perfecta se existen números naturais m > 1 e k > 1 tal que m^k = n. Neste caso, n pódese chamar k-ésima potencia perfecta. Se k = 2 ou k = 3, entón n chámase cadrado perfecto ou cubo perfecto, respectivamente.

Exemplos e sumas

Pódese xerar unha secuencia de potencias perfectas iterando os posíbeis valores de m e k. As primeiras potencias perfectas ascendentes en orde numérica (mostrando potencias con valores duplicados) son Modelo:OEIS  :

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,$ $2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots$

A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados como 3⁴ = 81 e 9² = 81) é 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=1.$

que se pode demostrar do seguinte xeito:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-1}\right)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m(m-1)}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=1.$

As primeiras potencias perfectas sen duplicados son:

(ás veces 0 e 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 225, 52, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024,... Modelo:OEIS

A suma dos recíprocos das potencias perfectas p sen duplicados é:

$\sum _p\frac{1}{p}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

onde μ (k) é a función de Möbius e ζ(k) é a función zeta de Riemann.

Segundo Euler, Goldbach mostrou (nunha carta agora perdida) que a suma de Modelo:Sfrac sobre o conxunto de potencias perfectas p, excluíndo 1 e excluíndo os duplicados, é 1:

Isto ás veces coñécese como o teorema de Goldbach-Euler.

Detección de potencias perfectas

Detectar se un número natural n dado é ou non unha potencia perfecta pódese conseguir de moitas formas diferentes, con distintos niveis de complexidade. Un dos métodos máis sinxelos deste tipo é considerar todos os valores posíbeis para k en cada un dos divisores de n, ata $k\le {\log }_{2}n$. Logo, se os divisores de $n$ son $n_1,n_2,\dots ,n_j$ entón un dos valores $n_1^2,n_2^2,\dots ,n_j^2,n_1^3,n_2^3,\dots$ debe ser igual a n se n é realmente unha potencia perfecta.

Este método pódese simplificar inmediatamente considerando só os valores primos de k. Isto é porque se $n=m^k$ para un composto $k=ap$ onde p é primo, entón isto pode simplemente reescribirse como $n=m^k=m^{ap}=(m^a{)}^p$ . Debido a este resultado, o valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.

Se se coñece a factorización completa de n, digamos $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$ onde o $p_i$ son primos distintos, entón n é unha potencia perfecta se e só se $\gcd ({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r)>1$ onde mcd denota o máximo común divisor. Como exemplo, considere n = 2⁹⁶ ·3⁶⁰ ·7²⁴ . Dado que mcd(96, 60, 24) = 12, n é unha potencia 12 perfecta (e unha potencia 6, 4, cubo e cadrado perfectos, xa que 6, 4, 3 e 2 dividen a 12).

Ocos entre potencias perfectas

En 2002 o matemático romanés Preda Mihăilescu demostrou que o único par de potencias perfectas consecutivas é 2³ = 8 e 3² = 9, demostrando así a conxectura de Catalan.

A conxectura de Pillai afirma que para calquera número enteiro positivo dado k só hai un número finito de pares de potencias perfectas cuxa diferenza é k. Este é un problema sen resolver.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita revista

Outros artigos

• Función zeta de Riemann.

Ligazóns externas

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)