Lema de Hensel

En matemáticas, o lema de Hensel, tamén coñecido como lema de levantamento de Hensel, chamado así en honor de Kurt Hensel, é un resultado da aritmética modular, que indica que se un polinomio univariado ten unha raíz simple módulo un número primo Modelo:Math, entón esta raíz pode levantarse a unha única raíz módulo calquera potencia de Modelo:Math maior. De forma máis xeral, se un polinomio factoriza módulo Modelo:Math en dous polinomios coprimos, esta factorización pódese levantar a unha factorización módulo calquera potencia de Modelo:Math superior (o caso das raíces corresponde ao caso de grao Modelo:Math para un dos factores).

Ao pasar ao "límite" (de feito este é un límite inverso) cando a potencia de Modelo:Mvar tende ao infinito, dedúcese que unha raíz ou unha factorización módulo Modelo:Mvar pode levantarse a unha raíz ou unha factorización sobre os [[Número p-ádico|enteiros Modelo:Mvar-ádicos.]]

Estes resultados foron amplamente xeneralizados, baixo o mesmo nome, ao caso de polinomios sobre un anel conmutativo arbitrario, onde Modelo:Mvar é substituído por un ideal, e "polinomios coprimos" significa "polinomios que xeran un ideal que contén o Modelo:Math".

O lema de Hensel é fundamental na [[Análise p-ádica|análise Modelo:Mvar-ádica]], unha rama da teoría analítica de números.

A demostración do lema de Hensel é construtiva, e leva a un algoritmo eficiente para o levantamento de Hensel, que é fundamental para factorizar polinomios, e dá o algoritmo máis eficiente coñecido para a álxebra linear exacta sobre os números racionais.

Redución e levantamento modulares

O lema orixinal de Hensel refírese á relación entre a factorización polinómica sobre os enteiros e sobre os enteiros módulo un número primo Modelo:Mvar e as súas potencias. Pódese estender directamente ao caso en que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo e Modelo:Mvar substitúese por calquera ideal máximal (de feito, os ideais maximais de $\mathbb{Z}$ teñen a forma $p\mathbb{Z},$ onde Modelo:Mvar é un número primo).

Facer isto de xeito preciso require unha xeneralización da aritmética modular habitual, polo que é útil definir con precisión a terminoloxía que se usa habitualmente neste contexto.

O proceso de levantamento é o inverso da redución. É dicir, dados os obxectos que dependen dos elementos de $R/I,$ o proceso de levantamento substitúe estes elementos por elementos de $R$ (ou de $R/I^k$ para algún Modelo:Math) que mapea con eles de forma que manteña as propiedades dos obxectos.

Sexa Modelo:Mvar un anel conmutativo e Modelo:Mvar un ideal de Modelo:Mvar. A redución módulo Modelo:Mvar refírese á substitución de cada elemento de Modelo:Mvar pola súa imaxe baixo o mapa canónico $R\to R/I.$ Por exemplo, se $f\in R[X]$ é un polinomio con coeficientes en Modelo:Mvar, a súa redución módulo Modelo:Mvar, denotada como $fmodI,$ é o polinomio en $(R/I)[X]=R[X]/IR[X]$ obtido substituíndo os coeficientes de Modelo:Mvar pola súa imaxe en $R/I.$ Dous polinomios Modelo:Mvar e Modelo:Mvar en $R[X]$ son congruentes módulo Modelo:Mvar, denotado como $f\equiv g(\mathrm{mod}I)$ se teñen os mesmos coeficientes módulo Modelo:Mvar, é dicir se $f-g\in IR[X].$ Se $h\in R[X],$ unha factorización de Modelo:Mvar módulo Modelo:Mvar consiste en dous (ou máis) polinomios Modelo:Mvar en $R[X]$ tal que $h\equiv fg(\mathrm{mod}I).$

Por exemplo, dado un polinomio $h\in R[X]$ e un módulo de factorización Modelo:Mvar expresado como $h\equiv fg(\mathrm{mod}I),$ levantar esta factorización módulo $I^k$ consiste en procurar polinomios $f^{\prime },g^{\prime }\in R[X]$ tal que $f^{\prime }\equiv f(\mathrm{mod}I),$ $g^{\prime }\equiv g(\mathrm{mod}I),$ e $h\equiv f^{\prime }{g}^{\prime }(\mathrm{mod}{I}^k).$ O lema de Hensel afirma que tal levantamento sempre é posíbel en condicións suaves; ver sección seguinte.

Enunciado

Orixinalmente, o lema de Hensel foi enunciado (e demostrado) para levantar unha factorización módulo un número primo Modelo:Mvar dun polinomio sobre os enteiros a unha factorización módulo calquera potencia de Modelo:Mvar e a unha factorización sobre os enteiros p-ádicos. Isto pódese xeneralizar facilmente, coa mesma proba, no caso de que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo, o número primo substitúese por un ideal máximal e os enteiros Modelo:Mvar-ádicos substitúense polo completamento con respecto ao ideal maximal. É esta xeneralización, que tamén é moi utilizada, a que aquí se presenta.

Sexa $𝔪$ un ideal máximal dun anel conmutativo Modelo:Mvar, e sexa

$h={\alpha }_0{X}^n+\cdots +{\alpha }_{n-1}X+{\alpha }_n$

un polinomio en $R[X]$ cun coeficiente principal ${\alpha }_0$ non en $𝔪.$

Posto que $𝔪$ é un ideal maximal, o anel cociente $R/𝔪$ é un corpo, e $(R/𝔪)[X]$ é un dominio de ideais principais (PID) e, en particular, un dominio de factorización única, o que significa que todo polinomio distinto de cero en $(R/𝔪)[X]$ pódese factorizar dun xeito único como o produto dun elemento distinto de cero de $(R/𝔪)$ e polinomios irredutíbeis que son mónicos (é dicir, os seus coeficientes principais son 1).

O lema de Hensel afirma que toda factorización de Modelo:Mvar módulo $𝔪$ en polinomios coprimos pódese levantar dun xeito único a un módulo de factorización ${𝔪}^k$ para todo Modelo:Mvar.

Máis precisamente, coas hipóteses anteriores, se $h\equiv {\alpha }_{0}fg(\mathrm{mod}𝔪),$ onde Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son mónicos e coprimos módulo $𝔪,$ entón, para cada número enteiro positivo Modelo:Mvar hai polinomios mónicos $f_k$ e $g_k$ tal que

$\begin{array}{cc}h& \equiv {\alpha }_0{f}_k{g}_k(\mathrm{mod}{𝔪}^k),\\ f_k& \equiv f(\mathrm{mod}𝔪),\\ g_k& \equiv g(\mathrm{mod}𝔪),\end{array}$

e $f_k$ e $g_k$ son únicos (con estas propiedades) módulo ${𝔪}^k.$

Levantar raíces simples

Un caso especial importante é cando $f=X-r.$ Neste caso, a hipótese da coprimalidade significa que Modelo:Mvar é unha raíz simple de $hmod𝔪.$ Isto dá o seguinte caso especial do lema de Hensel.

Coas hipóteses e notacións anteriores, se Modelo:Mvar é unha raíz simple de $hmod𝔪,$ entón Modelo:Mvar pódese levantar dun xeito único a unha raíz simple de $hmod{𝔪}^n$ para cada número enteiro positivo Modelo:Mvar. Explicitamente, para cada enteiro positivo Modelo:Mvar, hai un único $r_n\in R/{𝔪}^n$ tal que $r_n\equiv r(\mathrm{mod}𝔪)$ e $r_n$ é unha raíz simple de $h{mod𝔪}^n.$

Levantar ata o completamento ádico

O feito de que se poida levantar a $R/{𝔪}^n$ para todo número enteiro positivo Modelo:Mvar suxire "pasar ao límite" cando Modelo:Mvar tende ao infinito. Esta foi unha das principais motivacións para introducir os [[número p-ádico|enteiros Modelo:Mvar-ádicos]].

Dado un ideal máximal $𝔪$ dun anel conmutativo Modelo:Mvar, as potencias de $𝔪$ forman unha base de veciñanzas abertas para unha topoloxía en Modelo:Mvar, que se chama topoloxía m-ádica. O completamento desta topoloxía pódese identificar co completamento do anel local $R_{𝔪},$ e co límite inverso $\underleftarrow{\lim }R/{𝔪}^n.$ Este completamento é un anel local completo, xeralmente denotado ${\hat{R}}_{𝔪}.$ Cando Modelo:Mvar é o anel dos enteiros, e $𝔪=p\mathbb{Z},$ onde Modelo:Mvar é un número primo, este completamento é o anel dos enteiros Modelo:Mvar-ádicos ${\mathbb{Z}}_p.$

A definición do completamento como un límite inverso e a afirmación anterior do lema de Hensel implican que toda factorización en polinomios coprimos por pares módulo $𝔪$ dun polinomio $h\in R[X]$ pódese levantar de forma única a unha factorización da imaxe de Modelo:Mvar en ${\hat{R}}_{𝔪}[X].$ Do mesmo xeito, toda raíz simple de Modelo:Mvar módulo $𝔪$ pódese levantar a unha raíz simple da imaxe de Modelo:Mvar en ${\hat{R}}_{𝔪}[X].$

Proba

O lema de Hensel demóstrase xeralmente de forma incremental elevando unha factorización sobre $R/{𝔪}^n$ a unha factorización sobre $R/{𝔪}^{n+1}$ (Levantamento linear), ou unha factorización sobre $R/{𝔪}^{2n}$ (Levantamento cadrático).

O principal ingrediente da demostración é que os polinomios primos sobre un corpo satisfán a identidade de Bézout. É dicir, se Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son polinomios univariados coprimos sobre un corpo (aquí $R/𝔪$), hai polinomios Modelo:Mvar e Modelo:Mvar tal que $\mathrm{deg}a<\mathrm{deg}g,$ $\mathrm{deg}b<\mathrm{deg}f,$ e

$af+bg=1.$

A identidade de Bézout permite definir polinomios coprimos e demostrar o lema de Hensel, aínda que o ideal $𝔪$ non sexa maximal. Polo tanto, nas seguintes demostracións, pártese dun anel conmutativo Modelo:Mvar, un ideal Modelo:Mvar, un polinomio $h\in R[X]$ que ten un coeficiente principal que é invertíbel módulo Modelo:Mvar (é a súa imaxe en $R/I$ é unha unidade en $R/I$), e a factorización de Modelo:Mvar módulo Modelo:Mvar ou módulo unha potencia de Modelo:Mvar, tal que os factores satisfagan a identidade de Bézout módulo Modelo:Mvar. Nestas probas, $A\equiv B(\mathrm{mod}I)$ significa $A-B\in IR[X].$

Levantamento linear

Sexa Modelo:Mvar un ideal dun anel conmutativo Modelo:Mvar, e $h\in R[X]$ un polinomio univariado con coeficientes en Modelo:Mvar que ten un coeficiente principal $\alpha$ que é invertíbel módulo Modelo:Mvar (é dicir, a imaxe de $\alpha$ en $R/I$ é unha unidade en $R/I$).

Supoña que para algún enteiro positivo Modelo:Mvar hai unha factorización

$h\equiv \alpha fg(\mathrm{mod}{I}^k),$

tal que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son polinomios mónicos que son coprimos módulo Modelo:Mvar, no sentido de que existen $a,binR[X],$ tal que $af+bg\equiv 1(\mathrm{mod}I).$ Entón, hai polinomios ${\delta }_f,{\delta }_g\in I^{k}R[X],$ tal que $\mathrm{deg}{\delta }_f<\mathrm{deg}f,$ $\mathrm{deg}{\delta }_g<\mathrm{deg}g,$ e

$h\equiv \alpha (f+{\delta }_f)(g+{\delta }_g)(\mathrm{mod}{I}^{k+1}).$

Nestas condicións, ${\delta }_f$ e ${\delta }_g$ son únicos módulo $I^{k+1}R[X].$

A maiores, $f+{\delta }_f$ e $g+{\delta }_g$ satisfán a mesma identidade de Bézout que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar, é dicir, $$a(f+{\delta }_f)+b(g+{\delta }_g)\equiv 1(\mathrm{mod}I).$$ Isto dedúcese inmediatamente das afirmacións anteriores, mais é necesario para aplicar de forma iterativa o resultado con valores crecentes de Modelo:Mvar.

Unicidade

Sexa Modelo:Mvar, Modelo:Mvar, Modelo:Mvar e $\alpha$ como no apartado anterior. Sexa

$h\equiv \alpha fg(\mathrm{mod}{I}^k),$

unha factorización en polinomios coprimos (no sentido anterior), tal que $\mathrm{deg}{f}_0+\mathrm{deg}{g}_0=\mathrm{deg}h.$ A aplicación de levantamento linear para $k=1,2,\dots ,n-1\dots ,$ mostra a existencia de ${\delta }_f$ e ${\delta }_g$ tal que $\mathrm{deg}{\delta }_f<\mathrm{deg}f,$$\mathrm{deg}{\delta }_g<\mathrm{deg}g,$ e

$h\equiv \alpha (f+{\delta }_f)(g+{\delta }_g)(\mathrm{mod}{I}^n).$

Os polinomios ${\delta }_f$ e ${\delta }_g$ están definidos de forma única módulo $I^n.$ Isto significa que, se outro par $(\delta {\text{'}}_f,\delta {\text{'}}_g)$ cumpre as mesmas condicións, entón temos

$\delta {\text{'}}_f\equiv {\delta }_f(\mathrm{mod}{I}^n)\text{e}\delta {\text{'}}_g\equiv {\delta }_g(\mathrm{mod}{I}^n).$

Levantamento cadrático

O levantamento linear permite levantar unha factorización módulo $I^n$ a unha factorización módulo $I^{n+1}.$ O levantamento cadrático permite levantar directamente a unha factorización módulo $I^{2n},$ a costa de levantar tamén a identidade de Bézout e de computar módulo $I^n$ en lugar de módulo Modelo:Mvar (se se utiliza a descrición anterior de levantamento linear).

O levantamento cadrático baséase na seguinte propiedade.

Supoña que para algún número enteiro positivo Modelo:Mvar hai unha factorización

$h\equiv \alpha fg(\mathrm{mod}{I}^k),$

tal que Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son polinomios mónicos que son coprimos módulo Modelo:Mvar, no sentido de que existen $a,b\in R[X],$ tal que $af+bg\equiv 1(\mathrm{mod}{I}^k).$ Daquela, hai polinomios ${\delta }_f,{\delta }_g\in I^{k}R[X],$ tal que $\mathrm{deg}{\delta }_f<\mathrm{deg}f,$ $\mathrm{deg}{\delta }_g<\mathrm{deg}g,$ e

$h\equiv \alpha (f+{\delta }_f)(g+{\delta }_g)(\mathrm{mod}{I}^{2k}).$

A maiores, $f+{\delta }_f$ e $g+{\delta }_g$ satisfai a identidade de Bézout do seguinte xeito

$(a+{\delta }_a)(f+{\delta }_f)+(b+{\delta }_b)(g+{\delta }_g)\equiv 1(\mathrm{mod}{I}^{2k}).$

(Isto é necesario para permitir iteracións de levantameno cadrático.)

Exemplo explícito

Sexa $f(X)=X^6-2\in \mathbb{Q}[X].$

Módulo 2, o lema de Hensel non se pode aplicar xa que a redución de $f(X)$ módulo 2 é simplemente^{páxs 15-16}

$\overline{f}(X)=X^6-\bar{2}=X^6$

con 6 factores $X$ non sendo relativamente primos entre si. Polo criterio de Eisenstein, con todo, pódese concluír que o polinomio $f(X)$ é irredutíbel en ${\mathbb{Q}}_2[X].$

Sobre $k={𝔽}_7$, por outra parte, temos

$\overline{f}(X)=X^6-\bar{2}=X^6-\overline{16}=(X^3-\bar{4})(X^3+\bar{4})$

onde $4$ é a raíz cadrada de 2 en ${𝔽}_7$. Como 4 non é un cubo en ${𝔽}_7,$ estes dous factores son irredutíbeis en ${𝔽}_7$. De aí a factorización completa de $X^6-2$ en ${\mathbb{Z}}_7[X]$ e ${\mathbb{Q}}_7[X]$ é

$f(X)=X^6-2=(X^3-\alpha )(X^3+\alpha ),$

onde $\alpha =\dots 450454_7$ é unha raíz cadrada de 2 en ${\mathbb{Z}}_7$ que se pode obter levantando a factorización anterior. A outra raíz sería o complemeto a 7 da anterior $\alpha =\dots 216213_7$ (ver exemplo de Número p-ádico).

Finalmente, en ${𝔽}_{727}[X]$ o polinomio divídese en

$\overline{f}(X)=X^6-\bar{2}=(X-\bar{3})(X-\overline{116})(X-\overline{119})(X-\overline{608})(X-\overline{611})(X-\overline{724})$

con todos os factores relativamente primos entre si, de xeito que en ${\mathbb{Z}}_{727}[X]$ e ${\mathbb{Q}}_{727}[X]$ hai 6 factores $X-\beta$ cos enteiros 727-ádicos (non racionais).

$\beta =\{\begin{array}{cccc}3+& 545\cdot 727+& 537\cdot 727^2+& 161\cdot 727^3+\dots \\ 116+& 48\cdot 727+& 130\cdot 727^2+& 498\cdot 727^3+\dots \\ 119+& 593\cdot 727+& 667\cdot 727^2+& 659\cdot 727^3+\dots \\ 608+& 133\cdot 727+& 59\cdot 727^2+& 67\cdot 727^3+\dots \\ 611+& 678\cdot 727+& 596\cdot 727^2+& 228\cdot 727^3+\dots \\ 724+& 181\cdot 727+& 189\cdot 727^2+& 565\cdot 727^3+\dots \end{array}$

Usando derivadas para levantar raíces

Sexa $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteiros (ou enteiros Modelo:Mvar-ádicos) e sexan m, k enteiros positivos tal que m ≤ k. Se r é un número enteiro tal que

$f(r)\equiv 0{modp}^k\text{e}{f}^{\prime }(r)\equiv ̸0modp$

daquela, para todo $m>0$ existe un enteiro s tal que

$f(s)\equiv 0{modp}^{k+m}\text{e}r\equiv s{modp}^k.$

A maiores, este s é único módulo p^k+m, e pódese calcular explicitamente como o número enteiro tal que

$s=r-f(r)\cdot a,$

onde $a$ é un número enteiro que satisfai

$a\equiv [f^{\prime }(r){]}^{-1}{modp}^m.$

(onde $[f^{\prime }(r){]}^{-1}$ é o inverso multiplicativo de $f^{\prime }(r)$ módulo $p^m$).

Teña en conta que $f(r)\equiv 0{modp}^k$ e así temos que a condición $s\equiv r{modp}^k$ cúmprese. Por outra parte, se $f^{\prime }(r)\equiv 0modp$, entón poden existir 0, 1 ou varios s (ver levantamento de Hensel a continuación).

Levantamento de Hensel

Usando o lema, pódese "levantar" unha raíz r do polinomio f módulo p^k a unha nova raíz s módulo p ^{k +1} tal que Modelo:Nowrap (asumindo Modelo:Nowrap; tomando m maior dedúcese por indución). De feito, unha raíz módulo p^k+1 tamén é unha raíz módulo p ^k, polo que as raíces módulo p^k+1 son precisamente os levantamentos de raíces módulo p^k. A nova raíz s é congruente con r módulo p, polo que a nova raíz tamén satisfai $f^{\prime }(s)\equiv f^{\prime }(r)\equiv ̸0modp.$ Polo que o levantamento pódese repetir, e partindo dunha solución r_k de $f(x)\equiv 0{modp}^k$ podemos derivar unha secuencia de solucións r_k+1, r_k+2, ... da mesma congruencia para potencias sucesivamente superiores de p, sempre que $f^{\prime }(r_k)\equiv ̸0modp$ para a raíz inicial r_k. Isto tamén mostra que f ten o mesmo número de raíces mod p^k que mod p^{k +1}, mod p^{k +2} ou calquera outra potencia superior de p, sempre que as raíces de f mod p ^k sexan todas simples.

Que pasa con este proceso se r non é unha raíz simple mod p? Supoñamos que

$f(r)\equiv 0{modp}^k\text{and}{f}^{\prime }(r)\equiv 0modp.$

Entón $s\equiv r{modp}^k$ implica $f(s)\equiv f(r){modp}^{k+1}.$ É dicir, $f(r+t{p}^k)\equiv f(r){modp}^{k+1}$ para todos os números enteiros t. Polo tanto, temos dous casos:

• Se $f(r)\equiv ̸0{modp}^{k+1}$ entón non hai levantamento de r a unha raíz de f (x) módulo p ^{k +1} .
• Se $f(r)\equiv 0{modp}^{k+1}$ entón cada levantamento de r módulo p^k+1 é unha raíz de f (x) módulo p^{k +1} .

Exemplo. Para ver ambos os casos examinamos dous polinomios diferentes con Modelo:Nowrap :

$f(x)=x^2+1$ e Modelo:Nowrap. Entón $f(1)\equiv 0mod2$ e $f^{\prime }(1)\equiv 0mod2.$ Temos $f(1)\equiv ̸0mod4$ o que significa que ningún levantamento de 1 módulo 4 é unha raíz de f (x) módulo 4.

$g(x)=x^2-17$ e Modelo:Nowrap. Entón $g(1)\equiv 0mod2$ e $g^{\prime }(1)\equiv 0mod2.$ Porén, xa que $g(1)\equiv 0mod4,$ podemos levantar a nosa solución ao módulo 4 e os dous levantamentos (é dicir, 1, 3) son solucións. A derivada aínda é 0 módulo 2, polo que a priori non sabemos se podemos levantalas módulo 8, pero de feito podemos, xa que g(1) é 0 mod 8 e g (3) é 0 mod 8, dando solucións en 1, 3, 5 e 7 mod 8. Dado que deles só g(1) e g (7) son 0 mod 16, podemos levantar só 1 e 7 módulo 16, dando 1, 7, 9 e 15 mod 16. Deles, só 7 e 9 dan Modelo:Nowrap, polo que estes poden levantarse dando 7, 9, 23 e 25 mod 32. Resulta que para cada número enteiro Modelo:Nowrap, hai catro levantamentos de 1 mod 2 a unha raíz de Modelo:Nowrap.

Lema de Hensel para números p-ádicos

Nos números Modelo:Mvar-ádicos, onde podemos dar sentido aos números racionais módulo potencias de p sempre que o denominador non sexa un múltiplo de p, a recursividade de r_k (raíces mod p^k) a r_{k +1} (raíces mod p^{k +1}) pódese expresar dun xeito moito máis intuitivo. En lugar de escoller t para ser calquera enteiro que resolve a congruencia

$t{f}^{\prime }(r_k)\equiv -(f(r_k)/p^k){modp}^m,$

sexa t o número racional (o p^k aquí non é realmente un denominador xa que f(r_k) é divisíbel por p^k):

$-(f(r_k)/p^k)/f^{\prime }(r_k).$

Entón temos

$r_{k+1}=r_k+t{p}^k=r_k-\frac{f(r_k)}{f^{\prime }(r_k)}.$

Esta fracción pode non ser un número enteiro, mais é un enteiro Modelo:Mvar-ádico, e a secuencia de números r_k converxe nos enteiros Modelo:Mvar -ádicos a unha raíz de f(x) = 0. A maiores, a fórmula recursiva mostrada para o (novo) número r_k+1 en termos de r_k é precisamente o método de Newton para atopar raíces de ecuacións nos números reais.

Traballando directamente nos Modelo:Mvar-ádicos e usando o [[Número p-ádico|valor absoluto Modelo:Mvar-ádico]], hai unha versión do lema de Hensel que se pode aplicar aínda que comecemos cunha solución de f(a) ≡ 0 mod p tal que $f^{\prime }(a)\equiv 0modp.$ Só temos que asegurarnos de que $f^{\prime }(a)$ é distinto de 0. Esta versión máis xeral é a seguinte: se hai un número enteiro a que satisfaga:

$|f(a){|}_p<|f^{\prime }(a){|}_p^2,$

entón hai un único enteiro Modelo:Mvar-ádico b tal f(b) = 0 e $|b-a{|}_p<|f^{\prime }(a){|}_p.$ A construción de b equivale a mostrar que a recursión do método de Newton co valor inicial a converxe nos Modelo:Mvar-ádicos e b é o límite. A singularidade de b como raíz que se axusta á condición $|b-a{|}_p<|f^{\prime }(a){|}_p$ precisa traballo adicional.

A definición do lema de Hensel dada anteriormente (tomando $m=1$) é un caso especial desta versión máis xeral, xa que as condicións de que f (a) ≡ 0 mod p e $f^{\prime }(a)\equiv ̸0modp$ quere dicir que $|f(a){|}_p<1$ e $|f^{\prime }(a){|}_p=1.$

Exemplos

Supoñamos que p é un primo impar e a é un residuo cadrático distinto de cero módulo p. Entón o lema de Hensel implica que a ten unha raíz cadrada no anel de enteiros Modelo:Mvar-ádicos ${\mathbb{Z}}_p.$ De feito, sexa $f(x)=x^2-a.$ Se r é unha raíz cadrada de a módulo p, entón:

$f(r)=r^2-a\equiv 0modp\text{e}{f}^{\prime }(r)=2r\equiv ̸0modp,$

onde a segunda condición depende do feito de que p é impar. A versión básica do lema de Hensel dinos que partindo de r₁ = r podemos construír recursivamente unha secuencia de números enteiros $\{r_k\}$ tal que:

$r_{k+1}\equiv r_k{modp}^k,r_k^2\equiv a{modp}^k.$

Esta secuencia converxe a algún enteiro Modelo:Mvar-ádico b que satisfaga b² = a. De feito, b é a única raíz cadrada de a en ${\mathbb{Z}}_p$ congruente con r₁ módulo p. No outro sentido, se a é un cadrado perfecto en ${\mathbb{Z}}_p$ e non é divisíbel por p, entón é un residuo cadrático distinto de cero mod p. Teña en conta que a lei de reciprocidade cadrática permite probar facilmente se a é un residuo cadrático distinto de cero mod p, polo que obtemos un xeito práctico de determinar que números Modelo:Mvar-ádicos (para p impar) teñen unha raíz cadrada Modelo:Mvar-ádica, e pode ampliarse para cubrir o caso p = 2 usando a versión máis xeral do lema de Hensel (máis adiante dáse un exemplo con raíces cadradas 2-ádicas de 17).

Exemplo $sqrt(2)$ 7-ádica.

Procuremos unha "raíz cadrada de 2" (a solución para $x^2-2=0$ ) nos enteiros 7-ádicos. Módulo 7 unha solución é 3 (tamén poderíamos tomar 4), así que establecemos $r_1=3$. O lema de Hensel permítenos entón atopar $r_2$ do seguinte xeito:

$\begin{array}{cc}f(r_1)& =3^2-2=7\\ f(r_1)/p^1& =7/7=1\\ f^{\prime }(r_1)& =2r_1=6\end{array}$

En base a cal a expresión

$t{f}^{\prime }(r_1)\equiv -(f(r_1)/p^k)modp,$

convértese en:

$t\cdot 6\equiv -1mod7$

o que implica $t=1.$ Agora:

$r_2=r_1+t{p}^1=3+1\cdot 7=10=13_7.$

E, por suposto, $10^2\equiv 2{mod7}^2.$ (Se usáramos o método de Newton a recursión directamente nos 7-ádicos, entón $r_2=r_1-f(r_1)/f^{\prime }(r_1)=3-7/6=11/6,$ e $11/6\equiv 10{mod7}^2.$)

Podemos continuar e atopar $r_3=108=3+7+2\cdot 7^2=213_7$. Cada vez que realizamos o cálculo (é dicir, para cada valor sucesivo de k), engádese un díxito máis en base 7 para a potencia maior de 7 seguinte. Nos enteiros 7-ádicos esta secuencia converxe, e o límite é unha raíz cadrada de 2 en ${\mathbb{Z}}_7$ que ten unha expansión inicial en 7-ádicos

$3+7+2\cdot 7^2+6\cdot 7^3+7^4+2\cdot 7^5+7^6+2\cdot 7^7+4\cdot 7^8+\cdots .$

Se comezamos coa opción inicial $r_1=4$, entón o lema de Hensel produciría unha raíz cadrada de 2 en ${\mathbb{Z}}_7$ que é congruente con 4 (mod 7) en lugar de 3 (mod 7) e de feito esta segunda raíz cadrada sería o negativo da primeira raíz cadrada (que é consistente con 4 = −3 mod 7).

Exemplo $sqrt(17)$ 2-ádica.

Neste exemplo a versión orixinal do lema de Hensel non é válida pero a máis xeral si que o é, sexa $f(x)=x^2-17$ e $a=1.$ Entón $f(a)=-16$ e $f^{\prime }(a)=2,$ polo que

$|f(a){|}_2<|f^{\prime }(a){|}_2^2,$

o que implica que hai un único enteiro 2-ádico b satisfactorio

$b^2=17\text{e}|b-a{|}_2<|f^{\prime }(a){|}_2=\frac{1}{2},$

é dicir, b ≡ 1 mod 4. Hai dúas raíces cadradas de 17 nos enteiros 2- ádicos, que se diferencian por un signo, e aínda que son congruentes mod 2 non son congruentes mod 4. Isto é consistente coa versión xeral do lema de Hensel só nos dá unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que é congruente con 1 mod 4 en lugar de mod 2. Se comezaramos coa raíz aproximada inicial a = 3, entón poderiamos aplicar de novo o lema de Hensel máis xeral para atopar unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que sexa congruente co 3 mod 4. Este é o outro 2. - Raíz cadrada ádica de 17.

En termos de levantar as raíces de $x^2-17$ en módulo 2^k a 2^k+1 , os levantamentos que comezan coa raíz 1 mod 2 son os seguintes:

1 mod 2 → 1, 3 mod 4

1 mod 4 → 1, 5 mod 8 e 3 mod 4 → 3, 7 mod 8

1 mod 8 → 1, 9 mod 16 e 7 mod 8 → 7, 15 mod 16, mentres que 3 mod 8 e 5 mod 8 non levantan a raíces mod 16

9 mod 16 → 9, 25 mod 32 e 7 mod 16 → 7, 23 mod 16, mentres que 1 mod 16 e 15 mod 16 non se levantan a raíces mod 32.

Por cada k maior ou igual a 3, hai catro raíces de x² − 17 mod 2^k, mais se observamos as súas expansións 2-ádicas podemos ver que en parellas están converxendo a só dous límites 2-ádicos. Por exemplo, as catro raíces mod 32 divídense en dous pares de raíces coa mesma aparencia mod 16:

9 = 1 + 2³ e 25 = 1 + 2³ + 2⁴.

7 = 1 + 2 + 2² e 23 = 1 + 2 + 2² + 2⁴.

As raíces cadradas 2-ádicas de 17 teñen expansións

$1+2^3+2^5+2^6+2^7+2^9+2^{10}+\cdots$

$1+2+2^2+2^4+2^8+2^{11}+\cdots$

Exemplo $x^3-c$.

Outro exemplo onde podemos usar a versión máis xeral do lema de Hensel mais non a versión básica é unha proba de que calquera enteiro en 3-ádicos c ≡ 1 mod 9 é un cubo en ${\mathbb{Z}}_3.$ Sexa $f(x)=x^3-c$ e tome a aproximación inicial a = 1. O lema básico de Hensel non se pode usar para atopar raíces de f(x) xa que $f^{\prime }(r)\equiv 0mod3$ para cada r. Para aplicar a versión xeral do lema de Hensel queremos $|f(1){|}_3<|f^{\prime }(1){|}_3^2,$ que significa $c\equiv 1mod27.$

É dicir, se c ≡ 1 mod 27 entón o lema xeral de Hensel dinos que f(x) ten unha raíz 3-ádica, polo que c é un cubo en 3-ádicos. No entanto, quereríamos ter este resultado baixo a condición máis débil de que c ≡ 1 mod 9. Se c ≡ 1 mod 9 entón c ≡ 1, 10 ou 19 mod 27. Podemos aplicar o lema xeral de Hensel tres veces dependendo do valor de c mod 27: se c ≡ 1 mod 27 entón usamos a = 1, se c ≡ 10 mod 27 entón usamos a = 4 (xa que 4 é unha raíz de f(x) mod 27), e se c ≡ 19 mod 27 entón usamos a = 7. (Non é certo que cada c ≡ 1 mod 3 sexa un cubo 3-ádico, por exemplo, 4 non é un cubo 3- ádico xa que non é un cubo módulo 9.)

De xeito similar, despois dun traballo preliminar, o lema de Hensel pódese usar para mostrar que para calquera número primo impar p, calquera enteiro Modelo:Mvar-ádico c congruente a 1 módulo p² é unha potencia p-ésima en ${\mathbb{Z}}_p.$ (Isto é falso para p = 2.)

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teorema de Hasse-Minkowski
• Lema Lifting-the-exponent

Ligazóns externas

• Hensel`s lemma KEITH CONRAD.

Modelo:Control de autoridades