Xeometría birracional

O círculo é birracionalmente equivalente á liña. Un mapa birracional entre eles é a proxección estereográfica, como vemos nesta imaxe.

En matemáticas, a xeometría birracional é un campo da xeometría alxébrica no que o obxectivo é determinar cando dúas variedades alxébricas son isomorfas fóra de subconxuntos de dimensións inferiores. Isto equivale a estudar as correspondencias que están dadas por funcións racionais en vez de euqivalencias de polinomios; o mapa pode non estar definido onde as funcións racionais teñen polos.

Mapas birracionais

Mapas racionais

Un mapa racional dunha variedade (que se entende como irreducíbel) $X$ a outra variedade $Y$, escrito como unha frecha descontinua Modelo:Nowrap , defínese como un morfismo dun subconxunto aberto non baleiro $U\subset X$ en $Y$. Por definición da topoloxía de Zariski usada en xeometría alxébrica, un subconxunto aberto non baleiro $U$ sempre é denso en $X$, de feito o complemento dun subconxunto de dimensión inferior. Concretamente, un mapa racional pódese escribir en coordenadas utilizando funcións racionais.

Mapas birracionais

Un mapa birracional de X a Y é un mapa racional Modelo:Nowrap tal que existe un mapa racional Modelo:Nowrap inverso a f. Un mapa birracional induce un isomorfismo dun subconxunto aberto non baleiro de X a un subconxunto aberto non baleiro de Y, e viceversa: un isomorfismo entre subconxuntos abertos non baleiros de X, Y por definición dá un mapa birracional Modelo:Nowrap . Neste caso, X e Y dise que son birracionais ou equivalentes birracionalmente. En termos alxébricos, dúas variedades sobre un corpo k son birracionais se e só se os seus corpos de función son isomorfos como corpos extensión de k.

Un caso especial é un morfismo birracional Modelo:Nowrap, tendo o significado dun morfismo que é birracional. É dicir, f defínese en todas partes, mais a súa inversa pode non o estar. Normalmente, isto ocorre porque un morfismo birracional contrae algunhas subvariedades de X a puntos en Y.

Equivalencia birracional e racionalidade

Unha variedade X dise que é racional se é birracional en relación ao espazo afín (ou equivalentemente ao espazo proxectivo) dalgunha dimensión. A racionalidade é unha propiedade moi natural: significa que X menos algún subconxunto de dimensións inferiores pode identificarse co espazo afín menos algún subconxunto de dimensións inferiores.

Equivalencia birracional dunha cónica plana

Por exemplo, a circunferencia $X$ coa ecuación $x^2+y^2-1=0$ no plano afín é unha curva racional, porque hai un mapa racional Modelo:Nowrap dado por

$f(t)=(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}),$

que ten un inverso racional g : X ⇢ ${𝔸}^1$ dado por

$g(x,y)=\frac{1-y}{x}.$

Aplicando o mapa f con t un número racional dáse unha construción sistemática de ternas pitagóricas.

O mapa racional $f$ non se define no lugar xeométrico onde $1+t^2=0$. Entón, na liña afín complexa ${𝔸}_{ℂ}^1$, $f$ é un morfismo no subconxunto aberto $U={𝔸}_{ℂ}^1-\{i,-i\}$, $f:U\to X$. Así mesmo, o mapa racional Modelo:Nowrap non está definido no punto (0,−1) in $X$.

Equivalencia biracional de cádricas suaves e Pⁿ

De forma máis xeral, unha hipersuperficie cádrica X suave (grao 2) de calquera dimensión n é racional, por proxección estereográfica. (Para X unha cadrica sobre un corpo k, débese asumir que X ten un punto k-racional; isto é automático se k está pechado alxebricamente.) Para definir a proxección estereográfica, sexa p un punto en X. Daquela un mapa birracional dende X ata o espazo proxectivo ${\mathbb{P}}^n$ de liñas que pasan por p dáse enviando un punto q en X á recta que pasa por p e q. Esta é unha equivalencia birracional mais non un isomorfismo de variedades, porque non se define onde Modelo:Nowrap (e o mapa inverso non se define naquelas liñas que pasan por p que están contidas en X).

Equivalencia birracional da superficie cádrica

O mergullo de Segre dá un mergullo ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^3$ dado por

$([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].$

A imaxe é a superficie cádrica $x_0{x}_3=x_1{x}_2$ en ${\mathbb{P}}^3$. Iso dá outra proba de que esta superficie cádrica é racional, xa que ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ é obviamente racional, tendo un subconxunto aberto isomorfo a ${𝔸}^2$.

Modelos mínimos e resolución de singularidades

Toda variedade alxébrica é birracional a unha variedade proxectiva (lema de Chow). Entón, para os efectos da clasificación birracional, abonda con traballar só con variedades proxectivas, e esta adoita ser a configuración máis conveniente.

Moito máis profundo é o teorema de Hironaka de 1964 sobre a resolución de singularidades: sobre un corpo de característica 0 (como os números complexos), cada variedade é biracional a unha variedade proxectiva suave. Dado iso, abonda con clasificar as variedades proxectivas suaves ata a equivalencia birracional.

Na dimensión 1, se dúas curvas proxectivas suaves son birracionais, entón son isomorfas. Pero iso falla na dimensión polo menos 2, pola construción de explosión. Coa explosión, cada variedade proxectiva suave de dimensións polo menos 2 é birracional para infinitas variedades "maiores", por exemplo con números de Betti máis grandes.

Isto leva á idea de modelos mínimos: existe unha variedade única máis simple en cada clase de equivalencia birracional? A definición moderna é que unha variedade proxectiva X é mínima se o fibrado canónico K_X ten un grao non negativo en cada curva en X; noutras palabras, K_X é nef. É doado comprobar que as variedades de tipo explosión nunca son mínimas.

Esta noción funciona perfectamente para superficies alxébricas (variedades de dimensión 2). En termos modernos, un resultado central da escola italiana de xeometría alxébrica de 1890 a 1910, que forma parte da clasificación das superficies, é que cada superficie X é birracional a un produto ${\mathbb{P}}^1\times C$ para algunha curva C ou para unha superficie mínima Y.Modelo:Sfn Os dous casos son mutuamente excluíntes e Y é único se existe. Cando existe Y, denomínase modelo mínimo de X.

Invariantes birracionais

Unha invariante birracional é calquera tipo de número, anel, etc. que é o mesmo, ou isomorfo, para todas as variedades que son birracionalmente equivalentes.

Plurixénera

Un conxunto útil de invariantes birracionais son os plurixénera. O fibrado canónico dunha variedade suave X de dimensión n significa o fibrado de liñas de n-formas Modelo:Nowrap, que é a n-ésima potencia exterior do fibrado cotanxente de X. Para un número enteiro d, a potencia tensor d-ésima de K_X é de novo un fibrado de liñas. Para Modelo:Nowrap, o espazo vectorial das seccións globais Modelo:Nowrap ten a notable propiedade de que un mapa birracional Modelo:Nowrap entre variedades proxectivas suaves induce un isomorfismo Modelo:Nowrap.Modelo:Sfn

Para Modelo:Nowrap, definimos o d-ésimo plurixénero P_d como a dimensión do espazo vectorial Modelo:Nowrap; entón os plurixéneros son invariantes birracionais para variedades proxectivas suaves. En particular, se algún plurixénero P_d con Modelo:Nowrap non é cero, entón X non é racional.

Dimensión de Kodaira

Unha invariante birracional fundamental é a dimensión de Kodaira, que mide o crecemento do plurixénero P_d a medida que d vai ao infinito. A dimensión de Kodaira divide todas as variedades de dimensión n en Modelo:Nowrap tipos, coa dimensión de Kodaira −∞, 0, 1,... , ou n. Esta é unha medida da complexidade dunha variedade, cun espazo proxectivo que ten dimensión de Kodaira −∞. As variedades máis complicadas son as de dimensión de Kodaira igual á súa dimensión n, chamadas variedades de tipo xeral.

Grupo fundamental de variedades proxectivas suaves

O grupo fundamental π₁ (X) é unha invariante birracional para variedades proxectivas complexas suaves.

O "teorema da factorización débil", probado por Abramovich, Karu, Matsuki e Włodarczyk (2002), di que calquera mapa birracional entre dúas variedades proxectivas complexas suaves pode descompoñerse nun número finito de explosións ou derrubamentos de subvariedades suaves.

Modelos mínimos en dimensións superiores

Unha variedade proxectiva X chámase mínima se o fibrado canónico K_X é nef. Para X de dimensión 2, abonda con considerar variedades suaves nesta definición. En dimensións polo menos 3, débese permitir que as variedades mínimas teñan certas singularidades leves, para as que K_X aínda se comporta ben; estas denomínanse singularidades terminais.

Dito isto, a conxectura do modelo mínimo implicaría que cada variedade X está ou ben cuberta por curvas racionais ou birracional a unha variedade mínima Y. Cando existe, Y chámase modelo mínimo de X .

Variedades unirregradas

En xeometría alxébrica, unha variedade sobre un corpo $k$ é regrada se é birracional ao produto da liña proxectiva con algunha variedade sobre $k$. Unha variedade é unirregrada se está cuberta por unha familia de curvas racionais. Unha variedade unirregrada non ten un modelo mínimo, mais hai un bo substituto: Birkar, Cascini, Hacon e McKernan demostraron que toda variedade unirregrada sobre un corpo de característica cero é birracional a un espazo fibrado de Fano. Modelo:Efn Isto leva ao problema da clasificación birracional dos espazos fibrados de Fano e (como o caso especial máis interesante) das variedades Fano. Por definición, unha variedade proxectiva X é de Fano se o fibrado anticanónico $K_X^{*}$ é amplo. As variedades de Fano pódense considerar as variedades alxébricas máis semellantes ao espazo proxectivo.

Grupos de automorfismo birracional

As variedades alxébricas difiren moito en cantos automorfismos birracionais teñen. Toda variedade de tipo xeral é extremadamente ríxida, no sentido de que o seu grupo de automorfismos biracionais é finito. No outro extremo, o grupo do automorfismo birracional do espazo proxectivo ${\mathbb{P}}^n$ sobre un corpo k, coñecido como o grupo de Cremona Cr_n(k), é grande (en certo sentido, de dimensión infinita) para Modelo:Nowrap. Para Modelo:Nowrap, o grupo complexo de Cremona $C{r}_2(ℂ)$ é xerado pola "transformación cadrática"

[ x, y, z ] ↦ [1/ x, 1/ y, 1/ z ]

xunto co grupo $PGL(3,ℂ)$ de automorfismos de ${\mathbb{P}}^2,$ por Max Noether e Castelnuovo. Pola contra, o grupo de Cremona en dimensións Modelo:Nowrap é un misterio: non se coñece un conxunto explícito de xeradores.

Aplicacións

A xeometría birracional atopou aplicacións noutras áreas da xeometría, mais especialmente en problemas tradicionais da xeometría alxébrica.

Famosamente, o programa de modelos mínimos foi usado para construír espazos de módulos de variedades de tipo xeral por János Kollár e Nicholas Shepherd-Barron, agora coñecidos como espazos de módulos KSB.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita publicación periódica

Modelo:Control de autoridades