Norma dun corpo

En matemáticas, a norma dun corpo é unha asignación particular definida na teoría de corpos, que mapea elementos dun corpo máis grande nun subcorpo.

Definición formal

Sexa K un corpo e L unha extensión finita (e polo tanto unha extensión alxébrica) de K.

O corpo L é entón un espazo vectorial de dimensión finita sobre K .

A multiplicación por α dun elemento de L,

$m_{\alpha }:L\to L$

$m_{\alpha }(x)=\alpha x$,

é unha transformación K-linear deste espazo vectorial en si mesmo.

A norma, N _L/K (α), defínese como o determinante desta transformación linear.

Se L/K é unha extensión de Galois, pódese calcular a norma de α ∈ L como o produto de todos os conxugados de Galois de α:

${\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)}\sigma (\alpha ),$

onde Gal(L/K) denota o grupo de Galois de L/K. (Teña en conta que pode haber unha repetición nos termos do produto).

Para unha extensión xeral do corpo L/K, e α distinto de cero en L, sexan σModelo:Sub(α), ... , σModelo:Sub (α) as raíces do polinomio mínimo de α sobre K (raíces listadas con multiplicidade e situadas nalgún corpo de extensión de L); entón

${\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )={(\prod _{j=1}^n{\sigma }_j(\alpha ))}^{[L:K(\alpha )]}$ .

Se L/K é separábel, entón cada raíz aparece só unha vez no produto (aínda que o expoñente, o grao da extensión [L:K(α)], aínda pode ser maior que 1).

Exemplos

Extensións de corpo cadrático

Un dos exemplos básicos de normas provén das extensións de corpos cadráticos $\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}$ onde $a$ é un enteiro libre de cadrados.

Despois, o mapa de multiplicación por $\sqrt{a}$ sobre un elemento $x+y\cdot \sqrt{a}$ é

$\sqrt{a}\cdot (x+y\cdot \sqrt{a})=y\cdot a+x\cdot \sqrt{a}.$

O elemento $x+y\cdot \sqrt{a}$ pode ser representado polo vector

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],$

xa que hai unha descomposición de suma directa $\mathbb{Q}(\sqrt{a})=\mathbb{Q}\oplus \mathbb{Q}\cdot \sqrt{a}$ como a $\mathbb{Q}$-espazo vectorial.

A matriz de $m_{\sqrt{a}}$ é daquela

$m_{\sqrt{a}}=\left[\begin{array}{cc}0& a\\ 1& 0\end{array}\right]$

e a norma é $N_{\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}}(\sqrt{a})=-a$, xa que é o determinante desta matriz.

Norma de Q(√2)

Considere o corpo de números alxébricos $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ .

O grupo de Galois de $K$ sobre $\mathbb{Q}$ ten orde $d=2$ e é xerado polo elemento que envía $\sqrt{2}$ a $-\sqrt{2}$. Logo, a norma de $1+\sqrt{2}$ é:

$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-1.$

A norma do corpo tamén se pode obter sen o grupo de Galois .

Fixemos unha $\mathbb{Q}$-base de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, digamos:

$\{1,\sqrt{2}\}$ .

Daquela a multiplicación polo número $1+\sqrt{2}$ envía

1 a $1+\sqrt{2}$ e

$\sqrt{2}$ a $2+\sqrt{2}$ .

Daquela, o determinante de "multiplicar por $1+\sqrt{2}$ " é o determinante da matriz que envía o vector

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ (correspondente ao primeiro elemento da base, é dicir, 1) a $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$,

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ (correspondente ao segundo elemento da base, é dicir, $\sqrt{2}$ ) a $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$,

a saber:

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right].$

O determinante desta matriz é −1.

extensións do corpo raíz p-ésima

Outra clase sinxela de exemplos provén das extensións de corpo da forma $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})/\mathbb{Q}$ onde a factorización prima de $a\in \mathbb{Q}$ non contén potencias $p$-ésimas, para $p$ un primo impar fixo.

O mapa de multiplicación por

$\sqrt[p]{a}$

dun elemento é

$\begin{array}{cc}{m}_{\sqrt[p]{a}}(x)& =\sqrt[p]{a}\cdot (a_0+a_1\sqrt[p]{a}+a_2\sqrt[p]{a^2}+\cdots +a_{p-1}\sqrt[p]{a^{p-1}})\\ & =a_0\sqrt[p]{a}+a_1\sqrt[p]{a^2}+a_2\sqrt[p]{a^3}+\cdots +a_{p-1}a\end{array}$

dando a matriz

$\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& a\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right]$

O determinante dá a norma

$N_{\mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})/\mathbb{Q}}(\sqrt[p]{a})=(-1{)}^{p-1}a=a.$

Números complexos sobre os reais

A norma de corpo dos números complexos nos números reais envía

Modelo:Nowrap

a

Modelo:Nowrap,

porque o grupo de Galois de $ℂ$ sobre $ℝ$ ten dous elementos,

• o elemento identidade e
• a conxugación complexa,

e tomando o produto obtense Modelo:Nowrap.

Corpos finitos

Sexa L = GF(qⁿ) unha extensión finita dun corpo finito K = GF( q).

Dado que L/K é unha extensión de Galois, se α está en L, entón a norma de α é o produto de todos os conxugados de Galois de α, é dicir

${\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot {\alpha }^q\cdot {\alpha }^{q^2}\cdots {\alpha }^{q^{n-1}}={\alpha }^{(q^n-1)/(q-1)}.$

Nesta configuración temos as propiedades adicionais,

• $\mathrm{\forall }\alpha \in L,{\mathrm{N}}_{L/K}({\alpha }^q)={\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )$
• $\mathrm{\forall }a\in K,{\mathrm{N}}_{L/K}(a)=a^n.$

Propiedades da norma

Hai varias propiedades da función norma para calquera extensión finita.

Homomorfismo de grupos

A norma NModelo:Sub : L* → K* é un homomorfismo de grupos do grupo multiplicativo de L no grupo multiplicativo de K, é dicir

${\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha \beta )={\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha ){\mathrm{N}}_{L/K}(\beta )\text{ para todo }\alpha ,\beta \in L^{*}.$

A maiores, se a en K :

${\mathrm{N}}_{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}{\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )\text{ para todo }\alpha \in L.$

Se a ∈ K entón ${\mathrm{N}}_{L/K}(a)=a^{[L:K]}.$

Composición con extensións de corpo

A maiores, a norma compórtase ben en torres de corpos :

se M é unha extensión finita de L, entón a norma de M en K é só a composición da norma de M en L coa norma de L en K, é dicir.

${\mathrm{N}}_{M/K}={\mathrm{N}}_{L/K}\circ {\mathrm{N}}_{M/L}.$

Redución da norma

A norma dun elemento nunha extensión de corpo arbitraria pode reducirse a un cálculo máis sinxelo se xa se coñece o grao da extensión de corpo. Isto é

$N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha {)}^{[L:K(\alpha )]}$

Por exemplo, para

$\alpha =\sqrt{2}$

na extensión de corpo

$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},{\zeta }_3),K=\mathbb{Q}$

, a norma de

$\alpha$

é

$\begin{array}{cc}{N}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2},{\zeta }_3)/\mathbb{Q}}(\sqrt{2})& =N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\sqrt{2}{)}^{[\mathbb{Q}(\sqrt{2},{\zeta }_3):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]}\\ & =(-2{)}^2\\ & =4\end{array}$

xa que o grao de extensión do corpo

$L/K(\alpha )$

é

$2$

.

Detección de unidades

Para ${𝒪}_K$ o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico $K$, un elemento $\alpha \in {𝒪}_K$ é unha unidade se e só se $N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )=\pm 1$ .

Por exemplo

$N_{\mathbb{Q}({\zeta }_3)/\mathbb{Q}}({\zeta }_3)=1$

onde

${\zeta }_3^3=1$ .

Así, calquera corpo numérico $K$ cuxo anel de enteiros ${𝒪}_K$ contén ${\zeta }_3$ teno como unidade.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Traza dun corpo.
• Norma dun ideal.