Primorial

En matemáticas, e máis particularmente en teoría de números, o primorial, denotado por "#", é unha función de números naturais a números naturais semellante á función factorial, mais en lugar de multiplicar sucesivamente números enteiros positivos, a función só multiplica os números primos .

O nome "primorial", acuñado por Harvey Dubner, fai unha analoxía cos primos semellante á forma en que o nome "factorial" se relaciona cos factores.

Definición con números primos

Modelo:Math en función de Modelo:Math, representado logarítmicamente.

Para o Modelo:Mvar-ésimo número primo Modelo:Mvar, o primorial Modelo:Math defínese como o produto dos Modelo:Mvar primeiros primos:

$p_n\mathrm{\#}=\prod _{k=1}^n{p}_k$,

onde Modelo:Mvar é o Modelo:Mvar-ésimo número primo. Por exemplo, Modelo:Math significa o produto dos 5 primeiros primos:

$p_5\mathrm{\#}=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.$

Os cinco primeiros primoriais Modelo:Math son:

2, 6, 30, 210, 2310 Modelo:OEIS.

A secuencia tamén inclúe Modelo:Math como produto baleiro . Asintoticamente, os primoriais Modelo:Math medran segundo:

$p_n\mathrm{\#}=e^{(1+o(1))n\log n},$

onde Modelo:Math é a notación O pequeno.

Definición con números naturais

Modelo:Math (amarelo) en función de Modelo:Math, en comparación con Modelo:Math (vermello), ambos os dous representados logarítmicamente.

En xeral, para un enteiro positivo Modelo:Mvar, o seu primorial, Modelo:Math, é o produto dos primos que non son maiores que Modelo:Mvar; é dicir,

 $n\mathrm{\#}=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\le n}{p\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}{p}_i=p_{\pi (n)}\mathrm{\#}$,

onde Modelo:Math é a función de contaxe de números primos Modelo:OEIS, que dá o número de primos ≤ Modelo:Mvar.

Por exemplo, 12# representa o produto deses números primos ≤ 12:

$12\mathrm{\#}=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.$

Por tanto coas dúas nomenclaturas temos:

$12\mathrm{\#}=p_{\pi (12)}\mathrm{\#}=p_5\mathrm{\#}=2310.$

Datos relacionados

• Os primoriais están relacionados coa primeira función de Chebyshev, escrita ϑ (n) segundo:

$\ln (n\mathrm{\#})=\vartheta (n).$

• Dado que $\vartheta (n)$ achégase asintóticamente a Modelo:Math para valores grandes de Modelo:Math, os primoriais crecen segundo:

$n\mathrm{\#}=e^{(1+o(1))n}.$

• Para o Primorial, coñécese a seguinte aproximación:

$n\mathrm{\#}\le 4^n$.

A maiores: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n\mathrm{\#}}=e$. Para $n<10^{11}$, os valores son máis pequenos que [[Número e|Modelo:Mvar]],  pero para Modelo:Mvar maior, os valores da función superan o límite Modelo:Mvar e oscilan infinitamente arredor de Modelo:Mvar máis adiante.

• Sexa $p_k$ o Modelo:Mvar-ésimo primo, entón $p_k\mathrm{\#}$ ten exactamente $2^k$ divisores. Por exemplo, $2\mathrm{\#}$ ten 2 divisores, $3\mathrm{\#}$ ten 4 divisores, $5\mathrm{\#}$ ten 8 divisores e $97\mathrm{\#}$ xa ten $2^{25}$ divisores, xa que 97 é o 25º primo.
• A suma dos valores recíprocos do primorial converxe cara a unha constante

$\sum _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{p\mathrm{\#}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}+\dots =0.7052301717918\dots$

A expansión de Engel deste número dá como resultado a secuencia dos números primos (Ver Modelo:OEIS)

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita publicación periódica

Outros artigos

• Factorial.