Matriz adxunta

Na terminoloxía matemática moderna, o nome de matriz adxunta é usado para a matriz transposta conxugada.

Dada unha matriz cadrada A, a súa matriz adxunta é a trasposta da matriz cofactor cof(A). É o resultado de substituír cada termo a_ij de A polo cofactor a_ji de A.

O termo matriz adxunta adj(A) adoita crear confusión, xa que en moitos tratados clásicos de álxebra linear correspóndese coa matriz cofactor transposta, porén, noutros textos, correspóndese coa matriz cofactor, xa que chaman do mesmo xeito adxunto ao cofactor. A maiores, o símbolo adj( ) (do inglés adjugate) tamén se usa indistintamente con cof( ) para o cálculo nos elementos dunha matriz, provocando así unha maior confusión cada vez.

O principal interese da matriz adxunta é que permite calcular a inversa dunha matriz, xa que se cumpre a relación:Modelo:Ecuaciónonde adj(A) corresponde á matriz cofactor transposta, é dicir,

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=\mathrm{cof}(𝐀{)}^T={𝐂}^T$.

No entanto, para matrices de grandes dimensións, este tipo de cálculo ten máis custo, en termos de operacións, que outros métodos como o método de eliminación gaussiana.

Definición e fórmulas de cálculo

Dada unha matriz $𝐀$ a súa matriz adxunta é a única matriz $𝐁$ tal que: Modelo:EcuaciónDados os compoñentes explícitos da matriz: $(a_{ij})=𝐀\in M_{n\times n}$ para cada i e j defínese a matriz $\widetilde{𝐀}(i,j)$ como a matriz de orde $(n-1)$ obtida de $𝐀$ eliminando a fila i e a columna j. E defínese a cantidade:Modelo:EcuaciónE resulta que estas son precisamente as compoñentes da matriz de adxuntos (ou cofactores), é dicir, $\text{cof}(𝐀)=(d_{ij})$

Matrices 2 x 2

Dada unha matriz 2 x 2:Modelo:EcuaciónA súa matriz adxunta vén dada por:Modelo:Ecuaciónonde C é a matriz cofactor.

Matrices 3 x 3

Modelo:EcuaciónA súa matriz de cofactores vén dada por:Modelo:Ecuacióne polo tanto a transposición da matriz cofactor é a matriz adxunta:Modelo:Ecuación

Exemplo

Un exemplo sería o seguinte:

$\mathrm{adj}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& -1& 1\\ 0& 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -2& -2\\ 2& -4& -3\end{array}\right)$

Propiedades

Dada unha matriz $𝐀=(a_{ij})\in M_{n\times n}$ definindo $𝐁=(b_{ij})=\text{adj}(A)$ Pódese demostrar que os $b_{ij}$ pódense escribir como a suma de monomios de grao n nas compoñentes $a_{ij}$. Isto fai que o cálculo da matriz adxunta mediante a aplicación de fórmulas directas sexa complicado a medida que n aumenta, resultando computacionalmente moito custoso.

Se consideramos a operación de atopar a matriz adxunta como unha función: $\text{adj}:M_{n\times n}{\to }_{n\times n}$ resulta que esa función é continua. Isto pódese ver pola continuidade da función determinante. A maiores, ten outras propiedades interesantes:

• $\text{adj}({𝐀}^T)=\text{adj}(𝐀{)}^T$
• $\text{adj}(𝐀𝐁)=\text{adj}(𝐁)\text{adj}(𝐀)$
• $\text{adj}(𝐈)=𝐈$
• $𝐀\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^T)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀){𝐀}^T=\det (𝐀)𝐈$ para $𝐀\in M_{n\times n}$ .
• $\text{adj}(\lambda 𝐀)={\lambda }^{n-1}\text{adj}(𝐀)$ para $𝐀\in M_{n\times n}$ .
• $\text{adj}(\text{adj}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-2}𝐀$ para $𝐀\in M_{n\times n}$ .
• $\det (𝐀)=\text{tr}(𝐀\text{adj}(𝐀))/n$ para $𝐀\in M_{n\times n}$ .
• $\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-1}$ .

Se p (t) = det(A − t I) é o polinomio característico de A e definimos o polinomio q(t) = (p(0) − p (t))/t, entón:Modelo:EcuaciónOnde $p_j$ son os coeficientes de p(t):Modelo:EcuaciónA función adxunta tamén aparece na fórmula para a derivada do determinante: Modelo:Ecuación

Véxase tamén

Bibliografía

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, Modelo:ISBN
• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Modelo:ISBN

Outros artigos

• Matriz invertíbel.

Ligazóns externas

• Matrix Reference Manual
• Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
• Modelo:Cita web

Modelo:Control de autoridades