Matriz transposta conxugada

En matemáticas, a matriz transposta conxugada, tamén coñecida como transposición hermitiana, dun matriz complexa $𝐀$ $m\times n$ é unha matriz $n\times m$obtida por transposición de $𝐀$ e aplicando a conxugación complexa a cada entrada (sendo $a-ib$ o conxugado complexo de $a+ib$ sendo, con números reais $a$ e $b$). Hai varias notacións, como ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ ou ${𝐀}^{*}$, ${𝐀}^{\prime }$, ou (a miúdo en física) ${𝐀}^{†}$.

Para matrices reais, a transposición conxugada é só a transposición, ${𝐀}^{\mathrm{H}}={𝐀}^{\mathrm{T}}$.

Nalgúns contextos, ${𝐀}^{*}$ denota a matriz con só entradas conxugadas complexas e sen transposición.

Definición

A conxugada transpota de unha matriz

$𝐀$ $m\times n$

defínese formalmente por

onde o subíndice

$ij$

denota a

$(i,j)$

-ésima entrada (elemento da matriz), para

$1\le i\le n$

e

$1\le j\le m$

, e a barra superior denota un conxugado complexo escalar.

Esta definición tamén se pode escribir como

${𝐀}^{\mathrm{H}}={\left(\overline{𝐀}\right)}^{\mathrm{T}}=\overline{{𝐀}^{\mathrm{T}}}$

onde ${𝐀}^{\mathrm{T}}$ denota a transposta e $\overline{𝐀}$ denota a matriz con entradas complexas conxugadas.

Exemplo

Supoñamos que queremos calcular a transposición conxugada da seguinte matriz $𝐀$,

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}1& -2-i& 5\\ 1+i& i& 4-2i\end{array}\right]$

Primeiro transpoñemos a matriz:

${𝐀}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1+i\\ -2-i& i\\ 5& 4-2i\end{array}\right]$

Entón conxugamos cada entrada da matriz:

${𝐀}^{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1-i\\ -2+i& -i\\ 5& 4+2i\end{array}\right]$

Observacións básicas

Unha matriz cadrada $𝐀$ con entradas $a_{ij}$ chámase

• Hermitiana ou autoadxunta se $𝐀={𝐀}^{\mathrm{H}}$; é dicir, $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$.
• Matriz antihermitiana se $𝐀=-{𝐀}^{\mathrm{H}}$ ; é dicir, $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$ .
• Normal se ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀=𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}$.
• Unitaria se ${𝐀}^{\mathrm{H}}={𝐀}^{-1}$, de forma equivalente $𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}=𝑰$, de forma equivalente ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀=𝑰$ .

Aínda se $𝐀$ non é cadrada, as dúas matrices ${𝐀}^{\mathrm{H}}𝐀$ e $𝐀{𝐀}^{\mathrm{H}}$ son matrices hermitianas e, de feito, semidefinidas positivas.

A matriz "adxunta" transposta conxugada ${𝐀}^{\mathrm{H}}$ non debe confundirse coa matriz adxunta, $\mathrm{adj}(𝐀)$.

A transposta conxugada dunha matriz $𝐀$ con entradas reais redúcese á transposición de $𝐀$, xa que o conxugado dun número real é o propio número.

A transposta conxugada pódese motivar observando que os números complexos poden ser representados útilmente por matrices reais $2\times 2$, obedecendo á suma e á multiplicación matricial:

$a+ib\equiv \left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right].$

Para unha explicación desta notación para os complexos, comezamos representando números complexos $e^{i\theta }$ como a matriz de rotación, é dicir,

$e^{i\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\cos \theta \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\sin \theta \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$

Posto que $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$, lévanos ás representacións matriciais dos números unitarios como

$1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),i=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$

Un número complexo en xeral $z=x+iy$ represéntase logo como $z=\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right).$ A operación complexo conxugado (que envía $a+bi$ a $a-bi$ para números reais $a,b$) está recollida como a matriz transposta.

Véxase tamén

Outros artigos

• Matriz adxunta.
• Matriz inversa.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer

Modelo:Control de autoridades