Número tetraédrico

Unha pirámide cunha lonxitude de lado 5 contén 35 esferas. As capas son os primeiros números triangulares.

Un número tetraédrico, ou número piramidal triangular, é un número figurado que representa un tetraedro, unha pirámide triangular que ten triángulos equiláteros nas catro caras . O Modelo:Mvar ésimo número tetraédrico, Modelo:Mvar, é a suma dos Modelo:Mvar primeiros números triangulares, é dicir,

$T{e}_n=\sum _{k=1}^n{T}_k=\sum _{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}=\sum _{k=1}^n\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)$

Os números tetraédricos son:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220,... Modelo:OEIS

Fórmula

Os números Tetraédricos aparecendo no triángulo de Pascal

A fórmula para o Modelo:Mvar ésimo número tetraédrico está representada polo 3º factorial ascendente de Modelo:Mvar dividido polo factorial de 3:

$T{e}_n=\sum _{k=1}^n{T}_k=\sum _{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}=\sum _{k=1}^n\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{n^{\bar{3}}}{3!}$

Os números tetraédricos tamén se poden representar como coeficientes binomiais :

$T{e}_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3}).$

Ao representarse desta maneira, é fácil ver que os números tetraédricos pódense atopar na cuarta posición dende a esquerda (ou a dereita, por simetría) no triángulo de Pascal .

Probas da fórmula

Sabemos que o n-ésimo número triangular vén dado por:

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Empregando indución :

Caso para $n=1$

$T{e}_1=1=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.$

Supoñendo que sexa certo para $n=k$, facemos o paso indutivo para $n=k+1$

$\begin{array}{cc}T{e}_{k+1}& =T{e}_k+T_{k+1}\\ & =\frac{k(k+1)(k+2)}{6}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}\\ & =(k+1)(k+2)(\frac{k}{6}+\frac{1}{2})\\ & =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}.\end{array}$

Esta proba pode facerse de forma alternativa co algoritmo de Gosper .

Relación recursiva

Como comentamos anteriormente, os números tetraédricos derivan directamente dos triangulares, polo que nace esta relación entre estes:

$\begin{array}{ccc}& T{e}_n=T{e}_{n-1}+T_n& (1)\\ & T_n=T_{n-1}+n& (2)\end{array}$

A ecuación $(1)$ convértese en

$\begin{array}{cc}& T{e}_n=T{e}_{n-1}+T_{n-1}+n\end{array}$

Substituíndo $n-1$ por $n$ na ecuación $(1)$

$\begin{array}{cc}& T{e}_{n-1}=T{e}_{n-2}+T_{n-1}\end{array}$

Por ende, o $n$ o número tetraédrico cumpre que:

$\begin{array}{cc}& T{e}_n=2T{e}_{n-1}-T{e}_{n-2}+n\end{array}$

Xeneralización

O patrón atopado para os números triangulares $\sum _{n_1=1}^{n_2}{n}_1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2+1}{2})$ e para números tetraédricos $\sum _{n_2=1}^{n_3}\sum _{n_1=1}^{n_2}{n}_1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_3+2}{3})$ pódese xeneralizar. Isto leva á fórmula: $$\sum _{n_{k-1}=1}^{n_k}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_2=1}^{n_3}\sum _{n_1=1}^{n_2}{n}_1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_k+k-1}{k})$$

Interpretación xeométrica

A interpretación xeométrica vén de representar tetraedros mediante o uso de esferas ou calquera outro obxecto. Por exemplo, podemos comezar a partires do triangulo das bólas de billar coas que se comeza o xogo, son 15 bolas, o quinto número triangular, se imos apilando* máis bólas ata completar o tetraedro, en total empregaremos 35 bólas o quinto número tetraédrico.

Propiedades

• Modelo:Math, o número n-ésimo número piramidal cadrado .

  Modelo:Math, suma dos cadrados dos impares.

  Modelo:Math, suma dos cadrados dos pares.

• A. J. Meyl provou en 1878 que solo 3 números tetraédricos son tamén cadrados perfectos:

  Modelo:Math

  Modelo:Math

  Modelo:Math.

• Sir Frederick Pollock hizo una conjetura de que todo número enteiro positivo, pódese escribir como suma de 5 números tetraédricos.
• O único número tetraédrico que tamén é número triangular cadrado é 1 (Beukers, 1988), é o único que tamén é un cubo perfecto é 1.
• A suma infinita dos recíprocos dos números tetraédricos é Modelo:Sfrac, pódese calcular empregando series telescópicas:

  $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{6}{n(n+1)(n+2)}=\frac{3}{2}.$

• A paridade dos números tetraédricos segue a secuencia, impar-par-par-par.
• Una observación:

  Modelo:Math

• Os números que son á vez tetraédricos e triangulares, cumplen a ecuación:$T_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+2}{3})=T_{em}$

O terceiro número tetraédrico é igual ao cuarto número triangular xa que o n -ésimo número k -simple é igual ao k -ésimo número n -símplex debido á simetría do triángulo de Pascal, e as súas diagonais son números simples; do mesmo xeito, o quinto número tetraédrico (35) é igual ao cuarto número de pentácoron, e así por diante

Os únicos números que son tanto tetraédricos como triangulares son  :

Modelo:Math

Modelo:Math

Modelo:Math

Modelo:Math

Modelo:Math

• Modelo:Math é a suma dos produtos p × q cando (p, q) son pares ordenados e p + q = n + 1
• O número tetraédrico máis grande da forma $2^a+3^b+1$ para enteiros a e b é 8436.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.