Polinomios de Chebyshev

Os polinomios de Chebyshev son dúas secuencias de polinomios relacionadas coas funcións coseno e seno, escritas como $T_n(x)$ e $U_n(x)$. Pódense definir de varias formas equivalentes, unha das cales comeza con funcións trigonométricas:

Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo $T_n$ están definidos por

$T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta ).$

Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo $U_n$ están definidos por

$U_n(\cos \theta )\sin \theta =\sin ((n+1)\theta ).$

Que estas expresións definen polinomios en $\cos \theta$ pode non ser obvio a primeira vista, mais conséguese escribindo $\cos (n\theta )$ e $\sin ((n+1)\theta )$ coa fórmula de de Moivre ou mediante as fórmulas de suma de ángulos para $\cos$ e $\sin$ repetidamente. Por exemplo, coas fórmulas de ángulo duplo, obtemos

$T_2(\cos \theta )=\cos (2\theta )=2{\cos }^2\theta -1$,

$U_1(\cos \theta )\sin \theta =\sin (2\theta )=2\cos \theta \sin \theta$,

que son respectivamente un polinomio en $\cos \theta$ e un polinomio en $\cos \theta$ multiplicado por $\sin \theta$. De aí

$T_2(x)=2x^2-1$ e

$U_1(x)=2x$.

Unha propiedade importante e conveniente dos Modelo:Math é que son ortogonais con respecto ao produto interno

$⟨f,g⟩=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}},$

e os Modelo:Math son ortogonais con respecto a outro produto interno análogo, que se indica máis abaixo.

Os polinomios de Chebyshev Modelo:Math son polinomios co maior coeficiente posible cuxo valor absoluto no intervalo [−1, 1] está limitado por 1. Tamén son os polinomios "extremos" de moitas outras propiedades.

En 1952, Cornelius Lanczos demostrou que os polinomios de Chebyshev son importantes na teoría da aproximación para a solución de sistemas lineares; as raíces de Modelo:Math, que tamén se denominan nós de Chebyshev, úsanse como puntos de correspondencia para optimizar a interpolación polinómica. O polinomio de interpolación resultante minimiza o problema do fenómeno de Runge e proporciona unha aproximación que se aproxima á mellor aproximación polinómica a unha función continua baixo a norma máxima, tamén chamada criterio minimax. Esta aproximación leva directamente ao método da cuadratura de Clenshaw-Curtis.

Estes polinomios recibiron o nome de Pafnuty Chebyshev A letra Modelo:Mvar úsase polas transliteracións alternativas do nome Chebyshev como Modelo:Lang, Modelo:Lang(francés) ou Modelo:Lang (alemán).

Definicións

Definición de recorrencia

Gráfico dos primeiros cinco polinomios Modelo:Mvar de Chebyshev (primeiro tipo)

Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo obtéñense da relación de recorrencia:$$\begin{array}{cc}{T}_0(x)& =1\\ T_1(x)& =x\\ T_{n+1}(x)& =2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).\end{array}$$ A recorrencia permite tamén unha representación explícita como o determinante dunha matriz tridiagonal de tamaño $k\times k$ : $$T_k(x)=\det \left[\begin{array}{ccccc}x& 1& 0& \cdots & 0\\ 1& 2x& 1& \ddots & ⋮\\ 0& 1& 2x& \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & 0& 1& 2x\end{array}\right]$$

A función xeradora ordinaria ven dada por $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$$ A función xeradora exponencial é: $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{1}{2}(e^{t(x-\sqrt{x^2-1})}+e^{t(x+\sqrt{x^2-1})})=e^{tx}\cosh \left(t\sqrt{x^2-1}\right).$$

Gráfico dos primeiros cinco polinomios Modelo:Mvar de Chebyshev (segundo tipo)

Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo están definidos por unha relación de recorrencia:$$\begin{array}{cc}{U}_0(x)& =1\\ U_1(x)& =2x\\ U_{n+1}(x)& =2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x).\end{array}$$ Observemos que os dous conxuntos de relacións de recorrencia son idénticos, agás $T_1(x)=x$ versus Modelo:Nowrap

A función xeradora ordinaria para Modelo:Mvar é: $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)t^n=\frac{1}{1-2tx+t^2},$$ e a función xeradora exponencial é: $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)\frac{t^n}{n!}=e^{tx}(\cosh \left(t\sqrt{x^2-1}\right)+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\sinh \left(t\sqrt{x^2-1}\right)).$$

Definición trigonométrica

Como se describe na introdución, os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo poden definirse como os polinomios únicos que satisfán: $$T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$$ ou, noutras palabras, como os únicos polinomios que satisfán: $$T_n(x)=\{\begin{array}{cc}\cos (n\arccos x)& \text{ if }|x|\le 1\\ \cosh (n\mathrm{arcosh}x)& \text{ if }x\ge 1\\ (-1{)}^n\cosh (n\mathrm{arcosh}(-x))& \text{ if }x\le -1\end{array}$$

Os polinomios do segundo tipo satisfán: $$U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin (n\theta ),$$ que ven sendo $$U_n(\cos \theta )=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta },$$para Modelo:Math.

Os polinomios de Chebyshev pódense definir desta forma cando se estudan polinomios trigonométricos.. Dita forma ten unha estrutura bastante semellante ao núcleo de Dirichlet $$D_n(x)=\frac{\sin ((2n+1)\frac{x}{2})}{\sin \frac{x}{2}}=U_{2n}(\cos \frac{x}{2}).$$ (O núcleo de Dirichlet, de feito, coincide co que agora se coñece como o polinomio de Chebyshev do cuarto tipo).

Unha forma equivalente de ver isto é mediante a exponenciación dun número complexo, dado un número complexo Modelo:Math con valor absoluto de 1: $$z^n=T_n(a)+ib{U}_{n-1}(a).$$

Que Modelo:Math é un polinomio de grao Modelo:Mvar en Modelo:Math pódese ver observando que Modelo:Math é a parte real do lado dereito da fórmula de Moivre:$$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n.$$A parte real é un polinomio en Modelo:Math e Modelo:Math, no que todas as potencias de Modelo:Math son pares e así substituíbles mediante a identidade Modelo:Math. Polo mesmo razoamento, Modelo:Math é a parte imaxinaria do polinomio, na que todas as potencias de Modelo:Math son impares e, polo tanto, se se factoriza un factor de Modelo:Math, os restantes factores pódense substituír para crear un polinomio de grao Modelo:Math en Modelo:Math.

Definición mediante a ecuación de Pell

Podemos definir os polinomios de Chebyshev como as solucións da ecuación de Pell : $$T_n(x{)}^2-(x^2-1)U_{n-1}(x{)}^2=1$$ nun anel Modelo:Math. Así, pódense xerar mediante a técnica estándar para as ecuacións de Pell de toma de potencias dunha solución fundamental:$$T_n(x)+U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1}={(x+\sqrt{x^2-1})}^n.$$

Relacións entre os dous tipos de polinomios de Chebyshev

Os polinomios de Chebyshev do primeiro e do segundo tipo corresponden a un par complementario de secuencias de Lucas Modelo:Math e Modelo:Math cos parámetros Modelo:Math e Modelo:Math: $$\begin{array}{cc}{\tilde{U}}_n(2x,1)& =U_{n-1}(x),\\ {\tilde{V}}_n(2x,1)& =2T_n(x).\end{array}$$ Así conseguimos tamén un par de ecuacións de recorrencia mutua: $$\begin{array}{cc}{T}_{n+1}(x)& =x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x),\\ U_{n+1}(x)& =x{U}_n(x)+T_{n+1}(x).\end{array}$$

Podemos reorganizar o segundo usando a definición de recorrencia para os polinomios de Chebyshev do segundo tipo para dar: $$T_n(x)=\frac{1}{2}(U_n(x)-U_{n-2}(x)).$$

Usando iterativamente esta ecuación dá a fórmula da suma:$$U_n(x)=\{\begin{array}{cc}2\sum _{\text{ odd }j}^n{T}_j(x)& \text{ for odd }n.\\ 2\sum _{\text{ even }j}^n{T}_j(x)+1& \text{ for even }n,\end{array}$$aquí substituímos $U_n(x)$ e $U_{n-2}(x)$ utilizando a fórmula da derivada para $T_n(x)$ dá a relación de recorrencia para a derivada de $T_n$: $$2T_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{T}_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{T}_{n-1}(x),n=2,3,\dots$$ Os polinomios de Chebyshev cumpren as desigualdades de Turán coa seguinte expresión: $$\begin{array}{cccccc}{T}_n(x{)}^2-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)& =1-x^2>0& & \text{ for }-1<x<1& & \text{ and }\\ U_n(x{)}^2-U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)& =1>0.\end{array}$$ As relacións con integrais son Modelo:R Modelo:Sfn $$\begin{array}{cc}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{T_n(y)}{y-x}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{1-y^2}}& =\pi U_{n-1}(x),\\ \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{U_{n-1}(y)}{y-x}\sqrt{1-y^2}\mathrm{d}y& =-\pi T_n(x)\end{array}$$ onde as integrais son consideradas como valor principal.

Expresións explícitas

Diferentes enfoques para definir os polinomios de Chebyshev conducen a diferentes expresións explícitas. A definición trigonométrica dá unha fórmula explícita como segue:$$\begin{array}{cc}{T}_n(x)& =\{\begin{array}{cc}\cos (n\arccos x)& \text{ para }-1\le x\le 1\\ \cosh (n\mathrm{arcosh}x)& \text{ para }1\le x\\ (-1{)}^n\cosh (n\mathrm{arcosh}(-x))& \text{ para }x\le -1\end{array}\end{array}$$A partir desta forma trigonométrica, podemos calcular a recorrencias con condicións iniciais:$$T_0(\cos \theta )=\cos (0\theta )=1$$$$T_1(\cos \theta )=\cos \theta ,$$e tendo en conta que a identidade trigonométrica de produto a suma cumpre:$$2\cos n\theta \cos \theta =\cos [(n+1)\theta ]+\cos [(n-1)\theta ].$$Usando a definición de exponenciación de números complexos dos polinomios de Chebyshev, pódese obter as seguintes expresións equivalentes:$$T_n(x)=\frac{1}{2}\left(\right(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x+\sqrt{x^2-1}{)}^n)\text{ para }x\in ℝ$$ $$T_n(x)=\frac{1}{2}\left(\right(x-\sqrt{x^2-1}{)}^n+(x-\sqrt{x^2-1}{)}^{-n})\text{ para }x\in ℝ$$ As dúas son equivalentes porque $(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})=1$.

Tamén temos unha expresión con monomios Modelo:Math que se obtén da fórmula de Moivre:$$T_n(\cos (\theta ))=\mathrm{Re}(\cos n\theta +i\sin n\theta )=\mathrm{Re}((\cos \theta +i\sin \theta {)}^n),$$onde Modelo:Math denota a parte real. Se expandimos a fórmula, obtemos: $$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})i^j{\sin }^j\theta {\cos }^{n-j}\theta .$$ A parte real obtense cos sumandos dos índices pares. Decatándonos de que $i^{2j}=(-1{)}^j$ e ${\sin }^{2j}\theta =(1-{\cos }^2\theta {)}^j$, obtemos a fórmula explícita: $$\cos n\theta =\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2j})({\cos }^2\theta -1{)}^j{\cos }^{n-2j}\theta ,$$ que representa: $$T_n(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2j})(x^2-1{)}^j{x}^{n-2j}.$$ E á súa vez pode ser escrita como unha función hiperxeométrica Modelo:Math: $$\begin{array}{cc}{T}_n(x)& =\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){(x^2-1)}^k{x}^{n-2k}\\ & =x^n\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){(1-x^{-2})}^k\\ & =\frac{n}{2}\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(-1{)}^k\frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x{)}^{n-2k}\text{ para }n>0\\ \\ & =n\sum _{k=0}^n(-2{)}^k\frac{(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}(1-x{)}^k\text{ para }n>0\\ \\ & ={}_2{F}_1(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1}{2}(1-x))\\ \end{array}$$ e os seus inversos:

$$x^n=2^{1-n}{{\sum }^{\prime }}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=0}{j\equiv n(\mathrm{mod}2)}}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n-j}{2}})T_j(x),$$ onde a vírgual da suma indica que para Modelo:Math toma a metade do valor.

Relacionado con isto Modelo:Math como suma de monomios con coeficientes binomiais e potencias de 2 é $$T_n\left(x\right)=\sum _{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{(-1)}^m((\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m}{m})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m-1}{n-2m}))\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.$$

Modelo:Math tamén pode expresarse como unha función hiperxeométrica: $$\begin{array}{cc}{U}_n(x)& =\frac{{(x+\sqrt{x^2-1})}^{n+1}-{(x-\sqrt{x^2-1})}^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}}\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1}){(x^2-1)}^k{x}^{n-2k}\\ & =x^n\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2k+1}){(1-x^{-2})}^k\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-(n+1)}{k})(2x{)}^{n-2k}& \text{ para }n>0\\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})(2x{)}^{n-2k}& \text{ para }n>0\\ & =\sum _{k=0}^n(-2{)}^k\frac{(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}(1-x{)}^k& \text{ para }n>0\\ & =(n+1){}_2{F}_1(-n,n+2;\frac{3}{2};\frac{1}{2}(1-x)).\\ \end{array}$$

Propiedades

Simetría

$$\begin{array}{cc}{T}_n(-x)& =(-1{)}^n{T}_n(x)=\{\begin{array}{cc}{T}_n(x)& \text{ para }n\text{ par}\\ -T_n(x)& \text{ para }n\text{ impar}\end{array}\\ \\ U_n(-x)& =(-1{)}^n{U}_n(x)=\{\begin{array}{cc}{U}_n(x)& \text{ para }n\text{ par}\\ -U_n(x)& \text{ para }n\text{ impar}\end{array}\end{array}$$

Raíces e extremos

Un polinomio de Chebyshev de calquera tipo con grao Modelo:Mvar ten Modelo:Mvar raíces simples diferentes, chamadas raíces de Chebyshev, no intervalo [ −1, 1]. Usando a definición trigonométrica e o feito de que:$$\cos ((2k+1)\frac{\pi }{2})=0$$pódese demostrar que as raíces de Modelo:Mvar son: $$x_k=\cos \left(\frac{\pi (k+1/2)}{n}\right),k=0,\dots ,n-1.$$ As raíces de Modelo:Mvar son: $$x_k=\cos \left(\frac{k}{n+1}\pi \right),k=1,\dots ,n.$$ os máximos e mínimos de Modelo:Mvar no intervalo Modelo:Math son: $$x_k=\cos \left(\frac{k}{n}\pi \right),k=0,\dots ,n.$$ Unha propiedade única dos polinomios de Chebyshev do primeiro tipo é que no intervalo Modelo:Math todos os extremos teñen valores que son −1 ou 1. Tanto o primeiro como o segundo tipo de polinomio de Chebyshev teñen extremos nos puntos finais, dados por:$$\begin{array}{cc}{T}_n(1)& =1\\ T_n(-1)& =(-1{)}^n\\ U_n(1)& =n+1\\ U_n(-1)& =(-1{)}^n(n+1).\end{array}$$Os extremos de $T_n(x)$ no intervalo $-1\le x\le 1$ están situados en $n+1$ valores de $x$. Son $\pm 1$, ou $\cos \left(\frac{2\pi k}{d}\right)$ onde $d>2$, $d|2n$, $0<k<d/2$ e $(k,d)=1$, é dicir, $k$ e $d$ son números coprimos.

Diferenciación e integración

Ao diferenciar os polinomios nas súas formas trigonométricas, pódese demostrar que:$$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}{T}_n}{\mathrm{d}x}& =n{U}_{n-1}\\ \frac{\mathrm{d}{U}_n}{\mathrm{d}x}& =\frac{(n+1)T_{n+1}-x{U}_n}{x^2-1}\\ \frac{{\mathrm{d}}^2{T}_n}{\mathrm{d}{x}^2}& =n\frac{n{T}_n-x{U}_{n-1}}{x^2-1}=n\frac{(n+1)T_n-U_n}{x^2-1}.\end{array}$$Para a derivada Modelo:Mvar do polinomio Modelo:Mvar nos puntos $\pm 1$ temos$${\frac{d^p{T}_n}{d{x}^p}|}_{x=\pm 1}=(\pm 1{)}^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1},$$que é de gran utilidade na resolución numérica de problemas de valores propios.

En canto á integración, a derivada primeira de Modelo:Mvar implica que:$$\int U_n\mathrm{d}x=\frac{T_{n+1}}{n+1}$$a maiores a relación de recorrencia para os polinomios de primeiro tipo que inclúen derivadas establece que para Modelo:Math:$$\int T_n\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\frac{T_{n+1}}{n+1}-\frac{T_{n-1}}{n-1})=\frac{n{T}_{n+1}}{n^2-1}-\frac{x{T}_n}{n-1}.$$Podemos manipular a última fórmula para expresar a integral de Modelo:Mvar só en función dos polinomios de Chebyshev do primeiro tipo:$$\begin{array}{cc}\int T_n\mathrm{d}x& =\frac{n}{n^2-1}{T}_{n+1}-\frac{1}{n-1}{T}_1{T}_n\\ & =\frac{n}{n^2-1}{T}_{n+1}-\frac{1}{2(n-1)}(T_{n+1}+T_{n-1})\\ & =\frac{1}{2(n+1)}{T}_{n+1}-\frac{1}{2(n-1)}{T}_{n-1}.\end{array}$$Ademais, temos:$$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{T}_n(x)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\frac{(-1{)}^n+1}{1-n^2}& \text{ if }n\ne 1\\ 0& \text{ if }n=1.\end{array}$$

Propiedades de composición e divisibilidade

As definicións trigonométricas de Modelo:Math e Modelo:Math implican a composición ou propiedades de aniñamento: $$\begin{array}{cc}{T}_{mn}(x)& =T_m(T_n(x)),\\ U_{mn-1}(x)& =U_{m-1}(T_n(x))U_{n-1}(x).\end{array}$$Para Modelo:Math a orde de composición pódese inverter, e conseguimos que as funcións polinómicas Modelo:Math sexan un semigrupo conmutativo baixo composición.

Dado que Modelo:Math é divisible por Modelo:Mvar se Modelo:Mvar é impar, deducimos que Modelo:Math é divisible por Modelo:Math se Modelo:Mvar é impar. Alén diso, Modelo:Math é divisible por Modelo:Math, e para o caso de que Modelo:Mvar sexa par, é divisible por Modelo:Math.

Ortogonalidade

Tanto Modelo:Mvar como Modelo:Mvar forman unha secuencia de polinomios ortogonais. Os polinomios do primeiro tipo Modelo:Mvar son ortogonais con respecto ao peso:$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$no intervalo [ −1, 1 ], é dicir, temos:$$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{T}_n(x)T_m(x)\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{cc}0& \text{ se }n\ne m,\\ \pi & \text{ se }n=m=0,\\ \frac{\pi }{2}& \text{ se }n=m\ne 0.\end{array}$$Isto pódese probar con Modelo:Math e usando a identidade da definición Modelo:Math .

Do mesmo xeito, os polinomios Modelo:Mvar son ortogonais con respecto ao peso:$$\sqrt{1-x^2}$$no intervalo [ −1, 1 ], é dicir, temos:$$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}0& \text{ se }n\ne m,\\ \frac{\pi }{2}& \text{ se }n=m.\end{array}$$(Con unha constante normalizadora Modelo:Math é a distribución do semicírculo de Wigner).

Estas propiedades de ortogonalidade danse porque os polinomios de Chebyshev resolven as ecuacións diferenciais de Chebyshev:$$\begin{array}{cc}(1-x^2){T_n}^{″}-x{T_n}^{\prime }+n^2{T}_n& =0,\\ (1-x^2){U_n}^{″}-3x{U_n}^{\prime }+n(n+2)U_n& =0,\end{array}$$que son ecuacións diferenciais de Sturm-Liouville. É unha característica xeral destas ecuacións diferenciais que hai un conxunto significativo de solucións ortonormais.

O Modelo:Mvar tamén satisfai unha condición de ortogonalidade discreta:$$\sum _{k=0}^{N-1}{T}_i(x_k)T_j(x_k)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ se }i\ne j,\\ N& \text{ se }i=j=0,\\ \frac{N}{2}& \text{ se }i=j\ne 0,\end{array}$$onde o número Modelo:Mvar é calquera enteiro maior que Modelo:Math,Modelo:Sfn e Modelo:Math son os Modelo:Mvar nós de Chebyshev (ver arriba) de Modelo:Math :$$x_k=\cos \left(\pi \frac{2k+1}{2N}\right)\text{ para }k=0,1,\dots ,N-1.$$Para os polinomios Modelo:Mvar e calquera número enteiro Modelo:Math cos mesmos nós de Chebyshev Modelo:Math, hai sumas similares:$$\sum _{k=0}^{N-1}{U}_i(x_k)U_j(x_k)(1-x_k^2)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ se }i\ne j,\\ \frac{N}{2}& \text{ se }i=j,\end{array}$$e sen a función de peso:$$\sum _{k=0}^{N-1}{U}_i(x_k)U_j(x_k)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ se }i\equiv ̸j(\mathrm{mod}2),\\ N\cdot (1+\min \{i,j\})& \text{ se }i\equiv j(\mathrm{mod}2).\end{array}$$Para todo número enteiro Modelo:Math, baseado nos Modelo:Mvar ceros de Modelo:Math: $$y_k=\cos \left(\pi \frac{k+1}{N+1}\right)\text{ para}k=0,1,\dots ,N-1,$$pódese obter a suma:$$\sum _{k=0}^{N-1}{U}_i(y_k)U_j(y_k)(1-y_k^2)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }i\ne j,\\ \frac{N+1}{2}& \text{ se }i=j,\end{array}$$e de novo sen a función de peso:$$\sum _{k=0}^{N-1}{U}_i(y_k)U_j(y_k)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ se }i\equiv ̸j(\mathrm{mod}2),\\ (\min \{i,j\}+1)(N-\max \{i,j\})& \text{ se }i\equiv j(\mathrm{mod}2).\end{array}$$

Exemplos

Primeiro tipo

Os primeiros polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son Modelo:OEIS$$\begin{array}{cc}{T}_0(x)& =1\\ T_1(x)& =x\\ T_2(x)& =2x^2-1\\ T_3(x)& =4x^3-3x\\ T_4(x)& =8x^4-8x^2+1\\ T_5(x)& =16x^5-20x^3+5x\\ T_6(x)& =32x^6-48x^4+18x^2-1\\ T_7(x)& =64x^7-112x^5+56x^3-7x\\ T_8(x)& =128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\\ T_9(x)& =256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x\\ T_{10}(x)& =512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1\\ T_{11}(x)& =1024x^{11}-2816x^9+2816x^7-1232x^5+220x^3-11x\end{array}$$

Segundo tipo

Os primeiros polinomios de Chebyshev do segundo tipo son Modelo:OEIS$$\begin{array}{cc}{U}_0(x)& =1\\ U_1(x)& =2x\\ U_2(x)& =4x^2-1\\ U_3(x)& =8x^3-4x\\ U_4(x)& =16x^4-12x^2+1\\ U_5(x)& =32x^5-32x^3+6x\\ U_6(x)& =64x^6-80x^4+24x^2-1\\ U_7(x)& =128x^7-192x^5+80x^3-8x\\ U_8(x)& =256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1\\ U_9(x)& =512x^9-1024x^7+672x^5-160x^3+10x\end{array}$$

Como conxunto de bases

No espazo de Sobolev apropiado, o conxunto de polinomios de Chebyshev forma unha base ortonormal, de xeito que unha función no mesmo espazo pode, en Modelo:Math, expresarse mediante a expansión: $$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}_n(x).$$Os polinomios de Chebyshev forman unha base ortogonal que implica que os coeficientes Modelo:Math poden determinarse facilmente mediante a aplicación dun produto interno. Esta suma chámase unha serie de Chebyshev ou unha expansión de Chebyshev .

Unha serie de Chebyshev está relacionada cunha serie coseno de Fourier mediante un cambio de variables. Así todos os teoremas, identidades, etc. que se aplican ás series de Fourier teñen unha contraparte de Chebyshev. Estes atributos inclúen:

A abundancia de teoremas e identidades herdados das series de Fourier fan que os polinomios de Chebyshev sexan ferramentas importantes na análise numérica; por exemplo, son as funcións básicas de propósito xeral máis populares utilizadas no método espectral, moitas veces máis favorables que as series trigonométricas debido á converxencia xeralmente máis rápida para funcións continuas (o fenómeno de Gibbs segue sendo un problema).

Exemplo 1

Vemos a expansión de Chebyshev de Modelo:Math: $$\log (1+x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}_n(x).$$Podemos atopar os coeficientes Modelo:Math mediante a aplicación dun produto interno ou pola condición de ortogonalidade discreta. Para o produto interno:$$\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}\frac{T_m(x)\log (1+x)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}\frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x,$$que dá:$$a_n=\{\begin{array}{cc}-\log 2& \text{ para }n=0,\\ \frac{-2(-1{)}^n}{n}& \text{ para }n>0.\end{array}$$Como alternativa, cando non se pode avaliar o produto interno da función que se está a aproximar, a condición de ortogonalidade discreta dá un resultado frecuentemente útil para obter os coeficientes aproximados:$$a_n\approx \frac{2-{\delta }_{0n}}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{T}_n(x_k)\log (1+x_k),$$onde o Modelo:Mvar é a función delta de Kronecker e os Modelo:Mvar son os Modelo:Mvar ceros de Gauss–Chebyshev de Modelo:Math :$$x_k=\cos \left(\frac{\pi (k+\frac{1}{2})}{N}\right).$$Así podemos calcular os coeficientes aproximados Modelo:Mvar de forma moi eficiente mediante a transformada do coseno discreta:$$a_n\approx \frac{2-{\delta }_{0n}}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left(\frac{n\pi (k+\frac{1}{2})}{N}\right)\log (1+x_k).$$

Exemplo 2

Para poñer outro exemplo:$$\begin{array}{cc}{(1-x^2)}^{\alpha }& =-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}+2^{1-2\alpha }\sum _{n=0}{(-1)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\alpha }{\alpha -n})T_{2n}(x)\\ & =2^{-2\alpha }\sum _{n=0}{(-1)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\alpha +1}{\alpha -n})U_{2n}(x).\end{array}$$

Sumas parciais

As sumas parciais de:$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}_n(x)$$son moi útiles na aproximación de varias funcións e na resolución de ecuacións diferenciais (ver método espectral). Dous métodos comúns para determinar os coeficientes Modelo:Mvar son o uso do produto interno como no método de Galerkin e o uso da colocación que está relacionada coa interpolación.

Como interpolante, os Modelo:Mvar coeficientes das Modelo:Math primeiras sumas parciales adoitan obterse nos puntos Chebyshev–Gauss–Lobatto (ou retícula de Lobatto), o que resulta nun erro mínimo e evita o fenómeno de Runge asociado a unha retícula uniforme. Esta colección de puntos ven dada por: $$x_k=-\cos \left(\frac{k\pi }{N-1}\right);k=0,1,\dots ,N-1.$$

Familias de polinomios relacionados cos polinomios de Chebyshev

Moitas veces son usados os polinomios denotados como $C_n(x)$ e $S_n(x)$ relacionados cos de Chebyshev do seguinte modo: $$C_n(x)=2T_n\left(\frac{x}{2}\right),S_n(x)=U_n\left(\frac{x}{2}\right)$$Modelo:OEIS e satisfai:$$C_n(x)=S_n(x)-S_{n-2}(x).$$AF Horadam chamou aos polinomios $C_n(x)$ Polinomios de Vieta–Lucas con nomenclatura $v_n(x)$ e chamou aos $S_n(x)$ Polinomios de Vieta–Fibonacci con nomenclatura Modelo:Nowrap As listas dos dous conxuntos de polinomios aparecen na Opera Mathematica de Viète, capítulo IX, teoremas VI e VII. Os polinomios de Vieta–Lucas e Vieta–Fibonacci do argumento real son, ata unha potencia de $i$ e un desprazamento de índice no caso deste último, igual aos polinomios de Lucas e Fibonacci Modelo:Math e Modelo:Math de argumento imaxinario.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Filtro de Chebyshev
• Polinomios de Hermite
• O sistema Chebfun
• Transformada discreta de Chebyshev
• Algoritmo de Clenshaw

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web – includes illustrative Java applet.
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web