Ínfimo e supremo

Un conxunto $P$ de números reais (círculos ocos e cheos), un subconxunto $S$ de $P$ (círculos cheos), e o ínfimo de $S.$ Teña en conta que para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.

Un conxunto $A$ de números reais (círculos azuis), un conxunto de límites superiores de $A$ (rombo vermello e círculos), e o máis pequeno de eses límites superiores, é dicir, o supremo de $A$ (diamante vermello).

En matemáticas, o ínfimo (abreviado inf) dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $P$ é o maior elemento en $P$ que é menor ou igual a cada elemento de $S,$ se tal elemento existe. Se o ínfimo de $S$ existe, é único, e se b é un límite inferior de $S$, entón b é menor ou igual ao ínfimo de $S$. En consecuencia, o termo límite inferior máximo (abreviado como GLB en inglés) tamén se usa habitualmente. O supremo (abreviado sup) dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $P$ é o menor elemento $P$ que é maior ou igual a cada elemento de $S,$ se tal elemento existe. Se o supremo de $S$ existe, é único, e se b é un límite superior de $S$, entón o supremo de $S$ é menor ou igual a b. O supremo tamén se refire como o límite superior mínimo (ou LUB en inglés).

Os conceptos de ínfimo e supremo están relacionados con mínimo e máximo, mais son máis útiles na análise porque caracterizan mellor os conxuntos especiais que poden non ter mínimo ou máximo. Por exemplo, o conxunto de números reais positivos ${ℝ}^{+}$ (sen incluír $0$) non ten un mínimo, porque calquera elemento dado de ${ℝ}^{+}$ podería simplemente dividirse á metade, resultando un número menor que aínda está en ${ℝ}^{+}.$ Non obstante, hai exactamente un ínfimo dos números reais positivos relativos aos números reais: $0,$ que é menor que todos os números reais positivos e maior que calquera outro número real que se poida usar como cota inferior.

Definición formal

Un límite inferior $a$ de $S$ chámase ínfimo (ou límite inferior máximo) de $S$ se

• $a\le x$ para todo $x\in S.$

• para todos os límites inferiores $y$ de $S$ en $P$, $y\le a$ ($a$ é maior que calquera outro límite inferior).

Do mesmo xeito, un límite superior dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $(P,\le )$ é un elemento $b$ de $P$ tal que

• $b\ge x$ para todo $x\in S.$

• para todos os límites superiores $z$ de $S$ en $P$, $z\ge b$ ($b$ é menor que calquera outro límite superior).

Existencia e unicidade

Ínfimo e supremo non necesariamente existen. A existencia dun ínfimo dun subconxunto $S$ de $P$ pode fallar se $S$ non ten límite inferior, ou se o conxunto de límites inferiores non contén un elemento maior. (Un exemplo diso é o subconxunto $\{x\in \mathbb{Q}:x^2<2\}$ de $\mathbb{Q}$, que ten límites superiores, como 1.5, mais non ten límites superiores en $\mathbb{Q}$.)

Se o supremo dun subconxunto $S$ existe, é único. Así mesmo, se o infimum existe, é único.

Relación cos elementos máximos e mínimos

O ínfimo dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $P,$ supoñendo que exista, non necesariamente pertence a $S.$ Se o fai, é un elemento mínimo ou mínimo de $S.$ Do mesmo xeito, se o supremo de $S$ pertence a $S,$ é un elemento máximo de $S.$

Por exemplo, considere o conxunto de números reais negativos (excluíndo o cero). Este conxunto non ten elemento maior, xa que para cada elemento do conxunto, hai outro elemento máis grande. Por exemplo, para calquera número real negativo $x,$ hai outro número real negativo $\frac{x}{2},$ que é maior. Por outra banda, todo número real maior ou igual a cero é certamente un límite superior neste conxunto. Polo tanto, $0$ é o límite superior mínimo dos reais negativos, polo que o supremo é 0. Este conxunto ten un supremo pero non un maior elemento.

No entanto, a definición de elementos máximais e mínimais é máis xeral. En particular, un conxunto pode ter moitos elementos máximais e mínimais, mentres que ínfimo e supremo son únicos.

Mentres que os máximos e mínimos deben ser membros do subconxunto que se está a considerar, o ínfimo e o supremo dun subconxunto non teñen por que ser membros dese subconxunto.$$f(\sup S)=f\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f\left(s_n\right),$$que (por exemplo) garante que $f(\sup S)$ é un punto adherente do conxunto $f(S)\stackrel{\text{def}}{=}\{f(s):s\in S\}.$ Se ademais do asumido, a función continua $f$ é tamén unha función crecente ou non decrecente, entón incluso é posible concluír que $\sup f(S)=f(\sup S).$ Isto pódese aplicar, por exemplo, para concluír que sempre que $g$ é unha función de valor real (ou complexa ) con dominio $\mathrm{\Omega }\ne \varnothing$ cuxa norma sup $\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\stackrel{\text{def}}{=}\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|g(x)|$ é finita, entón para cada número real non negativo $q,$

O produto dun número real $r$ e un conxunto $B$ dos números reais é o conxunto

Ínfimo e supremo dos números reais

Que o conxunto dos números reais sexa completo iimplica (e é equivalente a) que calquera subconxunto non baleiro limitado $S$ dos números reais ten un ínfimo e un supremo. Se $S$ non está limitado por baixo, adoita escribirse formalmente $\underset{}{\inf }S=-\mathrm{\infty }.$ Se $S$ está baleiro, escríbese $\underset{}{\inf }S=+\mathrm{\infty }.$

Propiedades

Se $A$ é calquera conxunto de números reais entón $A\ne \varnothing$ se e só se $\sup A\ge \inf A,$ e doutro xeito $-\mathrm{\infty }=\sup \varnothing <\inf \varnothing =\mathrm{\infty }.$ Modelo:Sfn

Se $A\subseteq B$ son conxuntos de números reais entón $\inf A\ge \inf B$ (a non ser que $A=\varnothing \ne B$ ) e $\sup A\le \sup B.$

Identificando o ínfimo e o supremo

Se o ínfimo de $A$ existe (é dicir, $\inf A$ é un número real) e se $p$ é calquera número real entón $p=\inf A$ se e só se $p$ é un límite inferior e para cada $ϵ>0$ hai un $a_{ϵ}\in A$ con $a_{ϵ}<p+ϵ.$ Do mesmo xeito, se $\sup A$ é un número real e se $p$ é calquera número real entón $p=\sup A$ se e só se $p$ é un límite superior e se para cada $ϵ>0$ hai un $a_{ϵ}\in A$ con $a_{ϵ}>p-ϵ.$

Relación cos límites de secuencias

Se $S\ne \varnothing$ é calquera conxunto non baleiro de números reais, entón sempre existe unha secuencia non decrecente $s_1\le s_2\le \cdots$ en $S$ tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\sup S.$ Do mesmo xeito, existirá unha secuencia non crecente (posiblemente diferente). $s_1\ge s_2\ge \cdots$ en $S$ tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\inf S.$

Expresar o ínfimo e o supremo como límite dunha secuencia deste tipo permite aplicar teoremas de varias ramas das matemáticas. Considere por exemplo o feito ben coñecido en topoloxía que se $f$ é unha función continua e $s_1,s_2,\dots$ é unha secuencia de puntos do seu dominio que converxe a un punto $p,$ entón $f\left(s_1\right),f\left(s_2\right),\dots$ converxe necesariamente a $f(p).$ Implica que se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\sup S$ é un número real (onde todos $s_1,s_2,\dots$ están en $S$ ) e se $f$ é unha función continua cuxo dominio contén $S$ e $\sup S,$ entón$$\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}^q\stackrel{\text{def}}{=}{(\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }|g(x)|)}^q=\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\sup }(|g(x){|}^q)$$posto que o mapa $f:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$ definido por $f(x)=x^q$ é unha función continua non decrecente cuxo dominio $[0,\mathrm{\infty })$ sempre contén $S:=\{|g(x)|:x\in \mathrm{\Omega }\}$ e $\sup S\stackrel{\text{def}}{=}\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$$A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}$$Aínda que esta discusión centrouse en $\sup ,$ pódese chegar a conclusións semellantes con $\inf$ cos cambios adecuados (como esixir que $f$ ser non crecente en lugar de non diminuír). Outras normas definidas en termos de $\sup$ ou $\inf$ inclúen as normas de espazos febles $L^{p,w}$(para $1\le p<\mathrm{\infty }$ ), a norma no espazo de Lebesgue $L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },\mu ),$ e normas de operador. As secuencias monótonas en $S$ que converxen a $\sup S$ (ou a $\inf S$) tamén se pode usar para axudar a probar moitas das fórmulas que se indican a continuación, xa que a suma e a multiplicación de números reais son operacións continuas.

Operacións aritméticas sobre conxuntos

As seguintes fórmulas dependen dunha notación que xeneraliza convenientemente as operacións aritméticas sobre conxuntos. En todo o que segue, $A,B\subseteq ℝ$ son conxuntos de números reais.

Suma de conxuntos

A suma de Minkowski de dous conxuntos $A$ e $B$ dos números reais é o conxunto$$\inf (A+B)=(\inf A)+(\inf B)$$composto por todas as posibles sumas aritméticas de pares de números, un de cada conxunto. O ínfimo e o supremo da suma de Minkowski satisfai$$\sup (A+B)=(\sup A)+(\sup B).$$A multiplicación de dous conxuntos $A$ e $B$ dos números reais defínese de forma similar á súa suma de Minkowski:$$A\cdot B:=\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.$$Produto de conxuntos$$rB:=\{r\cdot b:b\in B\}.$$Se $A$ e $B$ son conxuntos non baleiros de números reais positivos daquela $\inf (A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)$ e do mesmo xeito para o supremo $\sup (A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).$

Produto escalar dun conxunto$$\inf (r\cdot A)=r(\inf A)\text{ and }\sup (r\cdot A)=r(\sup A),$$Se $r\ge 0$ daquela$$\inf (r\cdot A)=r(\sup A)\text{ and }\sup (r\cdot A)=r(\inf A).$$mentres que se $r\le 0$ entón$$\inf (-A)=-\sup A\text{ and }\sup (-A)=-\inf A.$$$$\frac{1}{S}:=\{\frac{1}{s}:s\in S\}.$$Inverso multiplicativo dun conxunto

Para calquera conxunto $S$ que non contén $0,$ sexa$$\frac{1}{\underset{}{\sup }S}=\underset{}{\inf }\frac{1}{S}$$Se $S\subseteq (0,\mathrm{\infty })$ non está baleiro entón$$x\le y\text{ en }{P}^{\mathrm{op}}\text{ se e só se }x\ge y\text{ en }P,$$onde esta ecuación tamén vale cando $\underset{}{\sup }S=\mathrm{\infty }$ se usamos a definición $\frac{1}{\mathrm{\infty }}:=0$. Esta igualdade pódese escribir alternativamente como $\frac{1}{\underset{s\in S}{\sup }s}=\underset{s\in S}{\inf }\frac{1}{s}.$ Alén diso, $\underset{}{\inf }S=0$ se e só se $\underset{}{\sup }\frac{1}{S}=\mathrm{\infty },$ onde se $\underset{}{\inf }S>0,$ entón $\frac{1}{\underset{}{\inf }S}=\underset{}{\sup }\frac{1}{S}.$

Dualidade

Se se denota por $P^{\mathrm{op}}$ o conxunto parcialmente ordenado $P$ coa relación de orde oposta; é dicir, para todo $x\text{ e }y,$ declaramos:$$\sup \{f(t)+g(t):t\in A\}\le \sup \{f(t):t\in A\}+\sup \{g(t):t\in A\}$$entón o ínfimo dun subconxunto $S$ en $P$ é igual ao supremo de $S$ en $P^{\mathrm{op}}$ e viceversa.

Para os subconxuntos dos números reais, cúmprese outro tipo de dualidade: $\inf S=-\sup (-S),$ onde $-S:=\{-s:s\in S\}.$

Exemplos

Ínfimo

• O ínfimo do conxunto dos números $\{2,3,4\}$ é $2.$ O número $1$ é un límite inferior, mais non o límite inferior maior e, polo tanto, non é o ínfimo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
• Máis xeralmente, se un conxunto ten un elemento máis pequeno, entón o elemento máis pequeno é o ínfimo para o conxunto. Neste caso, tamén se denomina mínimo do conxunto.
• $\inf \{x\in ℝ:0<x<1\}=0.$
• $\inf \{x\in \mathbb{Q}:x^3>2\}=\sqrt[3]{2}.$
• $\inf \{(-1{)}^n+\frac{1}{n}:n=1,2,3,\dots \}=-1.$
• Se ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ é unha secuencia decrecente con límite $x,$ entón $\inf x_n=x.$

Supremo

• O supremo do conxunto de números $\{1,2,3\}$ é $3.$ O número $4$ é un límite superior, mais non é o límite superior mínimo e, polo tanto, non é o supremo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o supremo e o máximo son iguais.
• $\sup \{x\in ℝ:0<x<1\}=\sup \{x\in ℝ:0\le x\le 1\}=1.$
• $\sup \{(-1{)}^n-\frac{1}{n}:n=1,2,3,\dots \}=1.$
• $\sup \{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.$
• $\sup \{x\in \mathbb{Q}:x^2<2\}=\sqrt{2}.$

No último exemplo, o supremo dun conxunto de racionais é irracional, o que significa que os racionais son incompletos.

Unha propiedade básica do supremo é$$\sup \{f(t)+g(t):t\in A\}\le \sup \{f(t):t\in A\}+\sup \{g(t):t\in A\}$$ para calquera funcionais $f$ e $g.$

O supremo dun subconxunto $S$ de $(\mathbb{N},\mid )$ onde $\mid$ denota " divide", é o mínimo común múltiplo dos elementos de $S.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Elemento maximal e minimal
• Límite superior e límite inferior
• Elemento maiorante e minorante

Ligazóns externas

• https://encyclopediaofmath.org/wiki/Upper_and_lower_bounds, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Modelo:MathWorld