Criterio de Eisenstein

En matemáticas, o criterio de Eisenstein fornece unha condición suficiente para que un polinomio con coeficientes enteiros sexa irredutíbel sobre os números racionais, isto é, para que sexa imposíbel factorizalo como o produto de polinomios non constantes con coeficientes racionais.

Este criterio non é aplicábel a tódolos polinomios con coeficientes enteiros que son irredutíbeis sobre os números racionais, mais permite demostrar a irredutibilidade en certos casos importantes, con moi pouco esforzo. Pode ser aplicado directamente ou após unha transformación do polinomio orixinal.

Este criterio recibe o nome de Gotthold Eisenstein. No inicio do século XX, tamén era coñecido como teorema de Schönemann–Eisenstein porque Theodor Schönemann foi o primeiro a publicalo.Modelo:Sfn Modelo:Sfn

Criterio

Supoña que se teña o seguinte polinomio con coeficientes enteiros.

Q (x) = a_{n} x^{n} + a_{n 1} x^{n 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

Se existe un número primo p tal que as tres condicións seguintes se cumpren:

p divide cada Modelo:Math para Modelo:Math,
p non divide Modelo:Math, e
Modelo:Math non divide Modelo:Math,

entón Q é irredutíbel sobre os números racionais. Tamén será irredutíbel sobre os enteiros, a menos que tódolos seus coeficientes teñan un factor non trivial en común (neste caso, Q como un polinomio en números enteiros terá algún número primo, necesariamente distinto de p, como un factor irredutíbel). Esa última posibilidade pode ser evitada facendo, primeiramente, con que Q sexa primitivo, dividíndoo polo maior divisor común dos seus coeficientes (o contido de Q). Esta división non se altera se Q é redutíbel ou non sobre os números racionais (ver factoración polinomial para máis detalles), e non invalida as hipóteses do criterio para p (pola contra podería facer o criterio ser válido para algún primo, mesmo se non o fose antes da división).

Exemplos

Pódese aplicar o criterio de Eisenstein tanto directamente (por exemplo, usando o polinomio orixinal) ou após unha transformación do polinomio orixinal.

Directo (sen transformación)

Consíderese o polinomio Modelo:Math. Para que o criterio de Eisenstein se aplique para un número primo p este debe dividir ambos os coeficientes non dominantes, Modelo:Math e Modelo:Math, o que significa que só Modelo:Math podería funcionar, e de feito iso ocorre, pois Modelo:Math non divide o coeficiente dominante Modelo:Math, e o seu cadrado é Modelo:Math, que non divide o coeficiente constante Modelo:Math. Pódese por tanto concluír que Modelo:Math é irredutíbel sobre Modelo:Math (e como é primitivo, tamén é irredutíbel sobre Z). Nótese que como Q é de grao 4, esa conclusión non podería ser estabelecida verificando apenas que Q non posúe raíces racionais (que elimina a posibilidade de factores de grao 1), pois tamén sería posíbel unha descomposición en dous factores cadráticos.

Indirecto (despois dunha transformación)

Moitas veces o criterio de Eisenstein non se aplica a ningún número primo. No entanto, pode ser que si que aplique (para algún número primo) ao polinomio obtido após a substitución de x por Modelo:Math (para algún enteiro a). O feito de o polinomio obtido despois da substitución ser irredutíbel, permite entón concluír que o polinomio orixinal tamén o é. Este procedemento é coñecido como a aplicación dun deslocamento ou translación.

Por exemplo, considerando Modelo:Math, en que o coeficiente 1 do termo x non é divisíbel por ningún primo, o criterio de Eisenstein non se aplica a H. Mais se cada x en H for substituído por Modelo:Math, obtense o polinomio Modelo:Math, que satisfai o criterio de Eisenstein para o número primo Modelo:Math. Como a substitución é un automorfismo do anel Modelo:Math, o feito de obterse un polinomio irredutíbel despois da substitución implica que se tiña un polinomio irredutíbel orixinalmente. Neste exemplo en particular, sería máis simple argumentar que H (sendo mónico de grao 2) só podería ser redutíbel se tivese unha raíz enteira, o que, obviamente, non posúe; no entanto, o principio xeral de tentar substitucións para facer que o criterio de Eisenstein sexa aplicábel é unha maneira útil de ampliar o seu ámbito de aplicación.

Outra posibilidade para transformar un polinomio de modo a satisfacer o criterio, que pode ser combinada coa aplicación dun deslocamento, é inverter a orde dos seus coeficientes, con tanto que o seu termo constante sexa diferente de cero (en suma, se non fose o polinomio xa sería divisíbel por x). Iso pode ser feito porque eses polinomios son redutíbeis en Modelo:Math se, e soamente se, eles son redutíbeis en Modelo:Math (para calquera dominio de integridade Modelo:Math), e neste anel a substitución de x por Modelo:Math inverte a orde dos coeficientes (de forma simétrica en relación ao coeficiente constante, mais unha subsecuente mudanza no expoñente corresponde á multiplicación por unha unidade). Como por exemplo, Modelo:Math satisfai o criterio para Modelo:Math, despois de inverter os seus coeficientes e (sendo primitivo) é, por tanto, irredutíbel en Modelo:Math.

Polinomios ciclotómicos

Unha clase importante de polinomios cuxa irredutibilidade pode ser estabelecida usando o criterio de Eisenstein é a dos polinomios ciclotómicos para números primos p. Un polinomio deste tipo é obtido ao dividir o polinomio Modelo:Math polo factor Modelo:Math, correspondente á súa raíz obvia Modelo:Math (que, se Modelo:Math, é a súa única raíz racional):

\frac{x^{p} - 1}{x - 1} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \dots + x + 1 .

Que, tal como no exemplo anterior de H, os coeficientes iguais a Modelo:Math impiden que o criterio de Eisenstein sexa aplicado directamente. No entanto, o polinomio satisfará o criterio para p após a substitución de x por Modelo:Math: iso resulta en:

\frac{(x + 1)^{p} - 1}{x} = x^{p - 1} + (\binom{p}{p - 1}) x^{p - 2} + \dots + (\binom{p}{2}) x + (\binom{p}{1}),

en que tódolos coeficientes non dominantes son divisíbeis por p, por propiedades dos coeficientes binomiais, e cuxo coeficiente constante é igual a p, e, por tanto, non divisíbel por Modelo:Math. Unha forma alternativa de chegar a esta conclusión usa a identidade Modelo:Math, que é válida en característica p (e que está baseada nas mesmas propiedades dos coeficientes binomiais, e dá orixe ao endomorfismo de Frobenius), para calcular a redución módulo p do cociente de polinomios:

\frac{(x + 1)^{p - 1}}{x} \equiv \frac{x^{p} + 1^{p} - 1}{x} = \frac{x^{p}}{x} = x^{p - 1} (\mod p),

o que significa que os coeficientes non dominantes do cociente son todos divisíbeis por p; a verificación que falta, de que o termo constante do cociente é p, pode ser feita substituíndose x por 1 (en vez de Modelo:Math) na forma expandida Modelo:Math.

Historia

O primeiro a publicar unha versión do criterio foi Theodor Schönemann,^[1] en 1846, no Jornal de Crelle,Modelo:Sfn onde consta (en tradución libre)

Que Modelo:Math será irredutíbel módulo Modelo:Math cando Modelo:Math módulo Modelo:Math non contén un factor Modelo:Math.

Esta formulación xa incorpora unha mudanza para Modelo:Math en vez de Modelo:Math; a condición sobre F(x) significa que Modelo:Math non é divisíbel por p, e así Modelo:Math é divisíbel por Modelo:Math, mais non por p². Da forma como está, a afirmación non é enteiramente correcta, no sentido de que non fai suposicións sobre o grao do polinomio Modelo:Math, de modo que o polinomio considerado non precisa ter o grao Modelo:Math que a súa expresión suxire; o exemplo x² + p(x³ + 1) ≡ (x² + p)(px + 1) mod p², mostra que a conclusión non é válida sen tal hipótese. Asumindo que o grao de Modelo:Math non exceda Modelo:Math, o criterio é correcto, no entanto, e un pouco máis forte do que a formulación dada enriba, pois se Modelo:Math é irredutíbel módulo Modelo:Math, certamente non pode ser descomposto en Modelo:Math en factores non constantes.

Posteriormente, Eisenstein publicou unha versión un pouco diferente, en 1850, tamén no Jornal de Crelle.Modelo:Sfn Nesta versión, traducida para o galego, lese:

Cando nun polinomio Modelo:Math en x de grao arbitrario, o coeficiente do maior termo é Modelo:Math, e tódolos coeficientes seguintes son números enteiros (reais ou complexos), os cales son divisíbeis por un certo número primo (real resp. complexo) Modelo:Math, e cando, alén diso, o último coeficiente é igual a εm, onde Modelo:Math denota un número non divisíbel por m: entón é imposíbel escribir Modelo:Math na forma
$(x^{μ} + a_{1} x^{μ - 1} + \dots + a_{μ}) (x^{ν} + b_{1} x^{ν - 1} + \dots + b_{ν})$
onde μ, ν ≥ 1, μ + ν = deg(F(x)), e tódolos Modelo:Math e Modelo:Math son números enteiros (respectivamente reais ou complexos); a ecuación Modelo:Math, por tanto, é irredutíbel.

Aquí, "números enteiros reais" son os números enteiros usuais e "números enteiros complexos" son os enteiros de Gauss; a interpretación de "números primos reais e complexos" debe ser análoga. A aplicación para a cal Eisenstein desenvolveu seu criterio, foi o estabelecemento da irredutibilidade de certos polinomios con coeficientes nos enteiros de Gauss que xorden no estudo da división da lemniscata en pedazos de mesma lonxitude de arco.

Notabelmente tanto Schönemann canto Eisenstein, despois de teren formulado os seus respectivos criterios para a irredutibilidade, aplicáronos inmediatamente para dar unha proba elemental da irredutibilidade dos polinomios ciclotómicos para números primos, un resultado que Gauss obtivera no seu traballo Disquisitiones Arithmeticae cunha proba moito máis complicada. Na verdade, Eisenstein acrecenta nunha nota de rodapé que a única proba desa irredutibilidade que el coñece, alén da de Gauss, é unha dada por Kronecker, en 1845. Iso mostra que el non tiña coñececemento das dúas probas diferentes desa afirmación que Schönemann dera no seu artigo de 1846, en que a segunda proba foi baseada no criterio mencionado anteriormente. Isto é aínda máis sorprendente se for considerado o feito de que dúas páxinas adiante, Eisenstein, na verdade, refírese (para un asunto diferente) á primeira parte do artigo de Schönemann. Nunha nota ("Notiz"), que apareceu no número seguinte da revista,Modelo:Sfn Schönemann apunta iso para Eisenstein, e indica que o último método non é esencialmente diferente do que el usou na segunda demostración.

Proba básica

Para probar a validade do criterio, supoña que Q satisfaga o criterio para o número primo p, mais que, no entanto, sexa redutíbel en Modelo:Math, co obxectivo de obter unha contradición. A partir do lema de Gauss concluíse que Q tamén é irredutíbel en Modelo:Math, e na verdade pode ser escrito como o produto Modelo:Math de dous polinomios non constantes Modelo:Math (no caso de Q non ser primitivo, aplicase o lema ao polinomio primitivo Modelo:Math (onde o enteiro c é o contido de Q, isto é, o máximo común divisor dos coeficientes de Q) para obter unha descomposición para el, e multiplícase un dos factores por c para obter unha descomposición de Q). Agora reduza Modelo:Math módulo p para obter unha descomposición en (Z/pZ)[x]. Mais por hipótese esa redución de Q deixa o seu termo de maior grao, da forma axⁿ para algunha constante non nula a en Z/pZ, como o único termo non nulo. Mais entón as reducións módulo p de G e H necesariamente fan desaparecer tódolos termos de menor grao (e non poden facer desaparecer os seus termos de maior grao), pois non é posíbel ningunha outra descomposición de axⁿ en (Z/pZ)[x], que é un dominio de factorización única. En particular os termos constantes de G e H desaparecen após a redución, e como tal son divisíbeis por p, e entón o termo constante de Q, que é o produto deles, é divisíbel por p², contradicindo a hipótese, e tense unha contradición.

Unha segunda proba do criterio de Eisenstein tamén comeza coa suposición de que o polinomio Modelo:Math sexa irredutíbel e remata mostrando que esa suposición implica unha contradición.

A suposición de que

Q (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

sexa redutíbel implica que hai dous polinomios Modelo:Math e Modelo:Math que

Q (x) = G (x) \cdot H (x)

.

Cada un dos polinomios Modelo:Math e Modelo:Math ten coeficientes Modelo:Math e Modelo:Math

G (x) = c_{r} x^{r} + c_{r - 1} x^{r - 1} + \dots + c_{0}

H (x) = d_{s} x^{s} + d_{s - 1} x^{s - 1} + \dots + d_{0}

tales que Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math. O coeficiente Modelo:Math do polinomio Modelo:Math pode ser dividido polo primo Modelo:Math, mais non por Modelo:Math. Como Modelo:Math, é posíbel dividir Modelo:Math ou Modelo:Math por Modelo:Math, mais non ambos. Pódese supoñer, sen perda de xeneralidade, que:

o coeficiente Modelo:Math pode ser dividido por Modelo:Math e
o coeficiente Modelo:Math non pode ser dividido por Modelo:Math.

Por hipótese, $p$ non divide $a_{n}$ . Considerando que Modelo:Math, nin Modelo:Math e nin Modelo:Math poden ser divididos por Modelo:Math. Así, se $a_{r}$ é o r-ésimo coeficiente do polinomio redutíbel $Q$ , entón (posibelmente con $d_{t} = 0$ no caso de $t > s$ )

a_{r} = c_{r} d_{0} + c_{r - 1} d_{1} + \dots + c_{0} d_{r}

en que $c_{r} d_{0}$ non pode ser dividido por $p$ , porque nin $d_{0}$ nin $c_{r}$ poden ser divididos por $p$ .

Probarase que $c_{0}, c_{1}, \dots, c_{r 1}$ son todos divisíbeis por Modelo:Math. Como $a_{r}$ tamén é divisíbel por Modelo:Math (pola hipótese do criterio), iso implica que $c_{r} d_{0} = a_{r} (c_{r - 1} d_{1} + \dots + c_{0} d_{r})$ é divisíbel por Modelo:Math, unha contradición que comproba o criterio.

É posíbel dividir $c_{0} d_{r}$ por $p$ , porque $c_{0}$ pode ser dividido por $p$ .

Pola suposición inicial, é posíbel dividir o coeficiente Modelo:Math do polinomio Modelo:Math por Modelo:Math. Como

a_{1} = c_{0} d_{1} + c_{1} d_{0}

e como Modelo:Math non é un múltiplo de Modelo:Math debe ser posíbel dividir Modelo:Math por Modelo:Math. Analogamente, por indución, $c_{i}$ é un múltiplo de $p$ para todo $i < r$ , o que termina a proba.

Xeneralización

Criterio xeneralizado

Dado un dominio de integridade D, sexa

Q = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

un elemento de Modelo:Math, o anel de polinomios con coeficientes en D.

Supoña que existe un ideal primo Modelo:Math de D tal que

Modelo:Math para cada Modelo:Math,
Modelo:Math, e
Modelo:Math, onde Modelo:Math é o produto de ideais de Modelo:Math con si mesmo.

Entón Q non pode ser escrito como un produto de dous polinomios non constantes en Modelo:Math. Se, alén diso, Q é primitivo (isto é, non ten divisores non triviais constantes), entón é irredutíbel en Modelo:Math. Se D é un dominio de factorización única con corpo de fraccións F, entón polo lema de Gauss Q é irredutíbel en Modelo:Math, sexa primitivo ou non (pois factores constantes son inservíbeis en Modelo:Math); neste caso, unha posíbel escolla de ideal primo é o ideal principal xerado por calquera elemento irredutíbel de D. A última afirmación resulta no teorema orixinal para Modelo:Math ou (na formulación de Eisenstein) para Modelo:Math.

Proba

A proba desta xeneralización é semellante aquela da formulación orixinal, considerándose a redución dos coeficientes módulo Modelo:Math; o punto esencial é que un polinomio de termo único sobre o dominio de integridade Modelo:Math non pode ser descomposto como un produto en que polo menos un dos factores ten máis dun termo (porque nun tal produto non pode haber cancelamento do coeficiente nin de maior nin de menor grao posíbel).

Exemplo

Despois de Modelo:Math, un dos exemplos básicos dun dominio de integridade é o anel de polinomios Modelo:Math na variábel u sobre o corpo k. Neste caso, o ideal principal xerado por u é un ideal primo. O criterio de Eisenstein pode entón ser utilizado para probar a irredutibilidade dun polinomio tal como Modelo:Math en Modelo:Math. De feito, u non divide Modelo:Math, Modelo:Math non divide Modelo:Math, e u divide Modelo:Math e Modelo:Math. Iso mostra que este polinomio satisfai as hipóteses da xeneralización do criterio de Eisenstein para o ideal primo Modelo:Math pois, para un ideal principal Modelo:Math, ser un elemento de Modelo:Math é equivalente a ser divisíbel por u.

Notas

Modelo:Listaref

Véxase tamén

Bibliografía

Modelo:Control de autoridades

↑ Modelo:Harvnb.

[Cox-1] Modelo:Harvnb.

[1]

Criterio de Eisenstein

Índice

Criterio

Exemplos

Directo (sen transformación)

Indirecto (despois dunha transformación)

Polinomios ciclotómicos

Historia

Proba básica

Xeneralización

Criterio xeneralizado

Proba

Exemplo

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Menú de navegación

Criterio de Eisenstein

Criterio

Exemplos

Directo (sen transformación)

Indirecto (despois dunha transformación)

Polinomios ciclotómicos

Historia

Proba básica

Xeneralización

Criterio xeneralizado

Proba

Exemplo

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Menú de navegación

Procura