Cálculo multivariábel

O cálculo multivariábel (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis.

Campo escalar con dúas variábeis

Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais

Funcións de Rⁿ en R^m. Campos escalares e vectoriales

Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa

$𝐟:V⟶W$

un campo vectorial que fai corresponder a todo punto P definido biunivocamente polo seu vector posición un vector $𝐟\left(𝐎𝐏\right)$ onde o punto O é a orixe de coordenadas.

$V\subseteq {ℝ}^n,W\subseteq {ℝ}^m,$ con $n>1$ e $m⩾1$. Cando $m=1$ tense un campo escalar. Para $m>1$ tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.

Límites e continuidade

Sexan $𝐚\in {ℝ}^n$ e $𝐛\in {ℝ}^m$. Escríbese:

$\underset{𝐱\to 𝐚}{\lim }𝐟\left(𝐱\right)=𝐛$,

ou ben,

$𝐟(𝐱)\to 𝐛$ cando $𝐱\to 𝐚$

para expresar o seguinte:

$\underset{\Vert 𝐱\mathbf{-}𝐚\Vert \to 0}{\lim }\Vert 𝐟\left(𝐱\right)-𝐛\Vert =0$

onde $\Vert 𝐱\Vert$ é a norma euclidiana de $𝐱$. Expresándoo en función das compoñentes de $𝐱=(x_1,\dots ,x_n),𝐚=(a_1,\dots ,a_n),$

$\underset{(x_1,\dots ,x_n)\to (a_1,\dots ,a_n)}{\lim }𝐟(x_1,\dots ,x_n)=𝐛$

ou, de forma equivalente,

$\underset{𝐱\to 𝐚}{\lim }𝐟\left(𝐱\right)=𝐛$

Derivadas direccionais

Derivada dun campo escalar respecto dun vector

Sexa $f:S\subseteq {ℝ}^n⟶ℝ$. Sexa $𝐱$ un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo $\in S,$ e $𝐲$ un vector arbitrario de ${ℝ}^n$. Defínese a derivada de f en $𝐱$ respecto a $𝐲$ como

$f^{\prime }(𝐱;𝐲)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝐱+h𝐲)-f\left(𝐱\right)}{h}$

Derivadas parciais

$\frac{\partial f}{\partial x_k}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1,\dots ,x_k+h,\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_k,\dots ,x_n)}{h}$

Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel, $x_j$, tense $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_k}$. Na práctica, calcularase $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ derivando respecto a $x_k$ e supondo $x_j,\mathrm{\forall }j\ne k$ constante.

A diferencial

Definición de campo escalar diferenciábel

Dise que f é diferenciábel en $𝐚\iff$

$\mathrm{\exists }{f}_L:{ℝ}^n⟶ℝ\left|\underset{\Vert 𝐯\Vert \to \mathrm{𝟎}}{\lim }f\right(𝐚+𝐯)=f(𝐚)+f_L(𝐯)$.

$f_L$ ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de f en a.

A anterior ecuación é a ${\displaystyle }$ fórmula de Taylor de primeira orde para $f(𝐚+𝐯)$.

Teorema de unicidade da diferencial

$f$ é diferenciábel en $𝐱$ con diferencial $f_L\left(𝐲\right)\Rightarrow$

a) $\mathrm{\exists }{f}^{\prime }(𝐱;𝐲)\mathrm{\forall }𝐲\in {ℝ}^n$

b) $f^{\prime }(𝐱;𝐲)=\sum _{k=1}^n{y}_k\frac{\partial f}{\partial x_k}$

Regra da cadea

Sexa $f:S\subset {ℝ}^n⟶ℝ$ un campo escalar e $𝐱:J\in ℝ⟶S$. Defínese a función composta $g=f\circ 𝐱$ como $g(t)=f\left[𝐱\right(t\left)\right]$, entón $g^{\prime }\left(t\right)=\sum _{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_k}\cdot \frac{d{x}_k}{dt}$

Diferencial dun campo vectorial

Sexa $𝐟:S\subseteq {ℝ}^n⟶{ℝ}^m$ un campo vectorial. Sexa $𝐱\in S$ e $𝐲$ un vector calquera. Defínese a derivada

${𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐲)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝐟(𝐱+h𝐲)-𝐟\left(𝐱\right)}{h}$}}

Expresando ${𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐲)$ en función das súas compoñentes, tense ${𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐲)=\left[f{\text{'}}_1\right(𝐱;𝐲),\dots ,f{\text{'}}_m(𝐱;𝐲\left)\right]$

Dise que $𝐟$ é diferenciábel $\iff \mathrm{\exists }{𝐟}_L:{ℝ}^n⟶{ℝ}^m$, aplicación linear que verifica:

$\underset{\Vert 𝐯\Vert \to 0}{\lim }𝐟(𝐱+𝐯)=𝐟\left(𝐱\right)+{𝐟}_L\left(𝐯\right)$.}}

Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para $𝐟.{𝐟}_L\left(𝐯\right)={𝐟}^{\prime }(𝐱;𝐯)$.

A matriz de ${𝐟}^{\prime }$ é a súa matriz jacobiana.

Diferenciabilidade implica continuidade

Se un campo vectorial $𝐟$ é diferenciábel en $𝐱\Rightarrow$ é continuo en $𝐱$. Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.

Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais

Sexa $𝐡\left(𝐱\right)=(𝐟\circ 𝐠)\left(𝐱\right)$ un campo vectorial definido e diferenciábel en $𝐱$. A súa diferencial ${𝐡}^{\prime }\left(𝐱\right)$ é

${𝐡}^{\prime }\left(𝐱\right)={𝐟}^{\prime }\left[𝐠\right(𝐱\left)\right]\circ {𝐠}^{\prime }\left(𝐱\right)$}}

Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}\mathrm{\forall }i\ne j\iff$ ambas as derivadas parciais existen e son continuas en $𝐱$.

Aplicacións do cálculo diferencial

Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares

Función cun punto de sela

Defínense os seguintes conceptos:

• Un campo escalar ten un máximo en $𝐱=𝐚\iff$ existe unha n-bola $B\left(𝐚\right)|\mathrm{\forall }𝐱\in B(𝐚\left)f\right(𝐱)⩽f(𝐚)$
• Un campo escalar ten un mínimo en $𝐱=𝐚\iff$ existe unha n-bola $B\left(𝐚\right)|\mathrm{\forall }𝐱\in B(𝐚\left)f\right(𝐱)⩾f(𝐚)$
• Un campo escalar ten un punto de sela $\iff$ $\mathrm{\forall }B\left(𝐚\right)\mathrm{\exists }𝐱\left|f\right(𝐱)⩽f(𝐚)\wedge \mathrm{\exists }𝐱|f\left(𝐱\right)⩾f\left(𝐚\right)$

Para saber se é un dos casos anteriores:

1. Obtense $𝐱|\frac{\partial f}{\partial x_k}=0\mathrm{\forall }k|1⩽k⩽n$
2. Obtense a matriz hessiana de f. Sexa esta $𝐅\left(𝐱\right)$.
   1. $𝐅\left(𝐱\right)$ é definida positiva $\Rightarrow f$ ten un mínimo relativo en $𝐱$.
   2. $𝐅\left(𝐱\right)$ é definida negativa $\Rightarrow f$ ten un máximo relativo en $𝐱$.
   3. $𝐅\left(𝐱\right)$ é indefinida $\Rightarrow f$ ten un punto de sela en $𝐱$.

No anterior supúxose que $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$ é continua $\mathrm{\forall }i,j|1⩽i⩽n,1⩽j⩽n$

Véxase tamén

Bibliografía

• Apostol, Tom M., Calculus, volume 2, editorial Reverté, S. a., ISBN 84-291-5003-X
• Modelo:Cita libro

Ligazóns externas

• UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
• MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
• Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
• Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
• Multivariable Calculus – A Very Quick Review Modelo:Webarchive, Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst