Toro (xeometría e topoloxía)

Imaxe dun toro xerada en 3D.

Modelo:Outros homónimos En xeometría e topoloxía, un toro é unha superficie de revolución xerada por unha circunferencia que xira arredor dunha recta exterior coplanaria (no seu plano e que non a corta). A palabra «toro» provén do vocábulo en latín torus. Moitos obxectos cotiáns teñen forma de toro: un dónut, unha rosquilla, a cámara dun pneumático etc.

Xeometría

Representación en sistema diédrico do toro.

As ecuacións paramétricas que definen o toro son:

$\{\begin{array}{c}x=\cos \theta (R+r\cos \phi )\\ y=\sin \theta (R+r\cos \phi )\\ z=r\sin \phi \end{array}$

onde R é a distancia entre o eixo de revolución e o centro dunha sección circular do toro, r é o raio do conduto, ambas constantes e θ, φ son ángulos que determinan o círculo completo, con $\theta ,\phi \in [0,2\pi )$.

A ecuación en coordenadas cartesianas dun toro cuxo eixo é o eixo z é:

${(R-\sqrt{x^2+y^2})}^2+z^2=r^2$

A superficie A e o volume V do toro poden calcularse empregando o teorema de Pappus de Alexandría. Os resultados son:

$A=4{\pi }^{2}Rr$

$V=2{\pi }^{2}R{r}^2$.

Topoloxía

En topoloxía, un toro é unha superficie pechada (compacta, sen bordo) orientada definida como o produto cartesiano de dos circunferencias: $S^1\times S^1$ e coa topoloxía produto.

O toro pódese describir tamén como o espazo cociente do plano euclidiano baixo as identificacións

$(x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1)$.

Equivalentemente, como o cociente do cadrado unidade $[0,1]\times [0,1]$ identificado os lados opostos.