Teorema de Sard

En matemáticas, o teorema de Sard, tamén coñecido como lema de Sard ou teorema de Morse-Sard, é un resultado da análise matemática que afirma que o conxunto de valores críticos (é dicir, a imaxe do conxunto de puntos críticos) dunha función suave f dun espazo ou variedade euclidiana a outro é un conxunto nulo, é dicir, ten unha medida de Lebesgue 0. Isto fai que o conxunto de valores críticos sexa "pequeno" no sentido dunha propiedade xenérica. O teorema recibe o nome de Anthony Morse e Arthur Sard.

Enunciado

Sexa,

$f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$

$C^k$, (é dicir, $k$ veces continuamente diferenciable), onde $k\ge \max \{n-m+1,1\}$. Se $X\subset {ℝ}^n$ denota o conxunto crítico de $f,$ que é o conxunto de puntos $x\in {ℝ}^n$ no que a matriz xacobiana de $f$ ten rango $<m$, daquela a imaxe $f(X)$ ten unha medida de Lebesgue 0 en ${ℝ}^m$.

Falando intuitivamente, isto significa que aínda que $X$ pode ser grande, a súa imaxe debe ser pequena no sentido da medida de Lebesgue: mentres $f$ pode ter moitos puntos críticos no dominio ${ℝ}^n$, debe ter poucos valores críticos na imaxe ${ℝ}^m$.

De forma máis xeral, o resultado tamén vale para os mapas entre variedades diferenciábeis $M$ e $N$ de dimensións $m$ e $n$, respectivamente. O conxunto crítico $X$ dunha función $C^k$

$f:N\to M$

consiste naqueles puntos nos que o diferencial nos fibrados tanxentes

$df:TN\to TM$

ten rango inferior a $m$ como transformación lineal. Se $k\ge \max \{n-m+1,1\}$, entón o teorema de Sard afirma que a imaxe de $X$ ten medida de Lebesgue cero como subconxunto de $M$. Esta formulación do resultado segue a partir da versión para espazos euclidianos tomando un conxunto numerábel de zonas de coordenadas. A conclusión do teorema é unha enunciado local, xa que unha unión numerábel de conxuntos de medida cero é un conxunto de medida cero, e a propiedade dun subconxunto dunha zona de coordenadas que ten medida cero é invariante baixo un difeomorfismo.

Variantes

Existen moitas variantes deste lema, que xoga un papel básico na teoría da singularidade entre outros campos. O caso $m=1$ foi probado por Anthony P. Morse en 1939, e o caso xeral por Arthur Sard en 1942.

Stephen Smale probou unha versión para variedades de Banach de dimensións infinitas.

A afirmación é bastante potente e a proba implica análise. En topoloxía cítase a miúdo (como no teorema do punto fixo de Brouwer e algunhas aplicacións na teoría de Morse) para demostrar o corolario máis débil de que “un mapa suave non constante ten polo menos un valor regular”.

En 1965 Sard xeneralizou aínda máis o seu teorema para afirmar que se $f:N\to M$ é $C^k$ para $k\ge \max \{n-m+1,1\}$ e se $A_r\subseteq N$ é o conxunto de puntos $x\in N$ tal que $d{f}_x$ ten un rango estritamente inferior a $r$, entón a medida de Hausdorff r-dimensional de $f(A_r)$ é cero. En particular, a dimensión de Hausdorff $f(A_r)$ é como máximo r. Advertencia: a dimensión de Hausdorff $f(A_r)$ pode estar arbitrariamente próxima a r.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro