Secante (matemáticas)

A secante, é a razón trigonométrica recíproca do coseno:

$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{c}{b}$

Forma xeométrica

Temos que, calculando a partir da circunferencia de raio unidade:

$\sec \alpha =\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AE}}{1}=\overline{AE}$

Representación gráfica

Partindo da definición de secante como a recíproca do coseno:

Coñecendo a función do coseno, podemos ver que para os valores nos que o coseno vale cero, a secante faise infinito, se a función coseno tende a cero desde valores positivos a secante tende a: $+\mathrm{\infty }$.

$\underset{\alpha \to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }\cos (\alpha )=0^{+}$

$\underset{\alpha \to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }\sec (\alpha )=\frac{1}{\underset{\alpha \to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }\cos (\alpha )}=\frac{1}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$

mentres que cando o coseno tende a cero desde valores negativos a secante tende a: $-\mathrm{\infty }$.

$\underset{\alpha \to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }\cos (\alpha )=0^{-}$

$\underset{\alpha \to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }\sec (\alpha )=\frac{1}{\underset{\alpha \to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }\cos (\alpha )}=\frac{1}{0^{-}}=-\mathrm{\infty }$

Cando o coseno do ángulo vale un, a súa secante tamén vale un, como se pode ver na gráfica.

Valores significativos

Pódese obter facilmente unha táboa con algúns valores significativos lembrando que $\sec x=\frac{1}{\cos x}$:

$x$ en radiáns	0	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{5}{12}\pi$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$x$ en graos	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\sec (x)$	$1$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$\nexists$	$-1$	$\nexists$	$1$

Derivadas

As derivadas obtéñense lembrando a súa definición e aplicando a regra do cociente:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\sec x\cdot \tan x.$

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\sec x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\tan x}{\cos x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{3}x}={\sec }^{3}x(1+{\sin }^{2}x).$

Relación trigonométrica secante-cosecante

Consecuencia da primeira relación fundamental da trigonometría $({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1)$ é a seguinte relación entre a secante e a cosecante:

${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{2}x+{\sec }^{2}x={\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{2}x\cdot {\sec }^{2}x$

para todo $x\ne k\frac{\pi }{2}$ con $k\in \mathbb{Z}$.

A relación obtense facilmente dividindo a relación fundamental por ${\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x$.

Véxase tamén

Bibliografía

1. Modelo:Cita libro

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Trigonometría
• Aula Virtual de Trigonometría

Modelo:Control de autoridades