Sólido de revolución

Rotación dunha curva. A superficie formada é unha superficie de revolución

Ficheiro:Revolução de poliedros 03.webm En matemáticas, enxeñería e na industria, un sólido de revolución é unha figura sólida que obtida pola rotación dun plano de curva arredor dunha recta (o eixo), que se atopa no mesmo plano.

Supondo que a curva non cruce o eixo, o volume do sólido será igual á lonxitude do círculo descrito polo centroide da figura, multiplicada pola área da figura (segundo o teorema do centroide de Papo-Guldino).

Un disco representativo é un elemento de volume tridimensional dun sólido de revolución. O elemento créase facendo xirar un segmento de liña (de lonxitude w ) arredor dalgún eixe (situado a r unidades de distancia), de xeito que se pecha un volume cilíndrico de Modelo:Math unidades.

Un volume con forma de toro obtense pola rotación dun círculo.

Achar o volume

Dous métodos comúns para atopar o volume dun sólido de revolución son: o método de disco e o método de integración de capas. Para aplicar estes métodos, é máis doado debuxar a gráfica en cuestión; identificar a zona que se xira arredor do eixo de revolución; determinar o volume dun disco en forma de rebanda dun sólido, con espesor δx, ou unha capa cilíndrica de ancho δx ; e despois atopar o límite da suma destes volumes cando δx se achega a 0, un valor que pode ser encontrado escollendo unha integral adecuada.

Método de disco

Disco de integración no eixo y

O método do disco utilízase cando a porción que foi debuxada é perpendicular ao eixe de revolución; é dicir, cando a integración é paralela ao eixe de revolución.

O volume do sólido formado pola rotación da área entre as curvas de Modelo:Math e Modelo:Math e as liñas de Modelo:Math e Modelo:Math arredor do eixo x vén dado por

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x{)}^2-g(x{)}^2|dx.$

Se Modelo:Math (por exemplo, xirando unha área entre a curva e o eixo x), redúcese a:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x{)}^{2}dx.$

O método pódese visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado entre y e Modelo:Math na parte superior e Modelo:Math na parte inferior, e tendo no eixe y a forma dun anel (ou disco no caso de que Modelo:Math ), con raio externo Modelo:Math e raio interior Modelo:Math . A área dun anel é Modelo:Math, onde R é o raio exterior no (neste caso, Modelo:Math ) e r é o raio interno (neste caso, Modelo:Math ) . O volume de cada disco infinitesimal é polo tanto Modelo:Math . O límite de Riemann é a suma dos volumes do disco entre a e b que se fan integral (1).

Método do cilindro

A integración de capas

O método da capa cilíndrica utilízase cando a porción que foi debuxada é paralela ao eixo de revolución; é dicir, cando a integración é perpendicular ao eixo de revolución.

O volume do sólido formado ao xirar a área comprendida entre as curvas de Modelo:Math e Modelo:Math e as liñas de Modelo:Math e Modelo:Math arredor do eixe y vén dado por:

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x|f(x)-g(x)|dx.$

Se Modelo:Math e g xirando unha área entre a curva e o eixo y, redúcese a:

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x|f(x)|dx.$

Sólidos en repouso

Sólidos rotativos formando Sólidos de revolución

O método pódese visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura Modelo:Math, e tendo no eixe y, a forma dunha capa cilíndrica. A superficie lateral dun cilindro é Modelo:Math, onde r é o raio (neste caso x) e h é a altura (neste caso Modelo:Math). Sumando todas as áreas de superficie ao longo do intervalo dáse o volume total.

Forma paramétrica

Matemáticas e arte: estudo dun vaso como sólido de revolución por Paolo Uccello; século XV

Cando unha curva se define pola súa forma paramétrica Modelo:Math nalgún intervalo Modelo:Math, os volumes dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dados por:

$V_x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi y^2\frac{dx}{dt}dt,$

$V_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi x^2\frac{dy}{dt}dt.$

Nas mesmas circunstancias, as áreas superficiais dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo y veñen dadas por

$A_x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}2\pi y\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt,$

$A_y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}2\pi x\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Matemáticas e arte
• Superficie de revolución
• Teoremas de Pappus-Guldinus
• Sólidos platónicos

Ligazons externas

• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita libro (Modelo:Google books)
• Weisstein, Eric W. «Solid of Revolution» (en inglés). MathWorld