Relación inversa

En matemáticas, a inversa dunha relación binaria é a relación que se produce cando se troca a orde dos elementos na relación. Por exemplo, a inversa da relación 'fillo de' é a relación 'pai de'. En termos formais, se $X$ e $Y$ son conxuntos e $L\subseteq X\times Y$ é unha relación de $X$ a $Y,$ entón $L^{\mathrm{T}}$ é a relación definida detal forma que $y{L}^{\mathrm{T}}x$ se e só se $xLy.$

$L^{\mathrm{T}}=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.$

Se representamos a relación como unha matriz a relación inversa sería a matriz transposta, daí a nomenclatura co superíndice "T": $L^{\mathrm{T}}$.

Por analoxía coas funcións pode verse escrita co superíndice "-1": $L^{-1}$. Aínda que moitas funcións non teñen unha inversa, toda relación ten unha única inversa.

Outras formas usadas menos frecuentes son: $L^{\mathrm{C}},L^V,\breve{L},L^{\circ }.$

Exemplo

Para as relacións de orde habituais (estritas ou parciais), a inversa é a orde "oposta" elementalmente esperada, por exemplo, ${\le }^{\mathrm{T}}=\ge ,{<}^{\mathrm{T}}=>.$

Unha relación pode ser representada por unha matriz lóxica como $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Logo, a relación inversa represéntase pola matriz transposta: $$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right).$$

Inversas

No monoide das relacións homoxéneas binarias nun conxunto (sendo a operación binaria sobre relacións a composición das relacións), a relación inversa non satisfai a definición de inverso da teoría de grupos, é dicir, se $L$ é unha relación arbitraria sobre $X,$ entón $L\circ L^{\mathrm{T}}$ non é igual, en xeral, á relación de identidade en $X$. A relación inversa satisfai os axiomas (máis débiles) dun semigrupo con involución: ${\left(L^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=L$ e $(L\circ R{)}^{\mathrm{T}}=R^{\mathrm{T}}\circ L^{\mathrm{T}}.$

Se $I$ representa a relación de identidade, daquela unha relación $R$ pode ter unha inversa do seguinte xeito: $R$ chámase

Modelo:Visible anchor

se existe unha relación $X,$ chamada Modelo:Visible anchor de $R,$ que satisfai $R\circ X=I.$

Modelo:Visible anchor

se existe unha relación $Y,$ chamada Modelo:Visible anchor of $R,$ que satisfai $Y\circ R=I.$

Modelo:Visible anchor

no caso de ser invertíbel bilateral.

Para unha relación homoxénea invertíbel $R,$ todas as inversas dereita e esquerda coinciden; este conxunto único chámase a súa Modelo:Visible anchor e denotase por $R^{-1}.$ Neste caso si que se cumpre que $R^{-1}=R^{\mathrm{T}}$.

Relación inversa dunha función

Unha función é invertíbel se e só se a súa relación inversa é unha función, nese caso a relación inversa é a función inversa.

A relación inversa dunha función $f:X\to Y$ é a relación $f^{-1}\subseteq Y\times X$ definida por $\mathrm{graph}{f}^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.$

Isto non é necesariamente unha función: unha condición necesaria é que $f$ sexa inxectiva, xa que senón $f^{-1}$ é multivaluada. Entón $f^{-1}$ é unha función (total) se e só se $f$ é sobrexectiva. No caso de que $f$ é bixectiva, $f^{-1}$ pódese chamar función inversa de $f.$

Por exemplo, a función $f(x)=2x+2$ ten a función inversa $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}-1.$

Porén, a función $g(x)=x^2$ ten a relación inversa $g^{-1}(x)=\pm \sqrt{x},$ que non é unha función, por ser multivaluada.

Composición con relación

Usando a composición de relacións, a inversa pódese compor coa relación orixinal. Por exemplo, a relación de subconxunto composta coa súa inversa é sempre a relación universal:

∀ A ∀ B ∅ ⊂ A ∩ B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. Do mesmo xeito,

Para U = universo, A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

Considere agora a relación de pertenza do conxunto e a súa inversa.

$A\ni z\in B\iff z\in A\cap B\iff A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }.$

Así $A\ni \in B\iff A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }.$ A composición contraria $\in \ni$ é a relación universal.

As composicións pódense utilizar para clasificar as relacións segundo o tipo: para unha relación Q, cando a relación de identidade no rango de Q contén Q^TQ, entón Q denomínase univalente . Cando a relación de identidade no dominio de Q está contida en QQ ^T, entón Q chámase total . Cando Q é univalente e total, entón é unha función. Cando Q ^T é univalente, entón Q denomínase inxectiva . Cando Q^T é total, Q denomínase sobrexectiva .

Se Q é univalente, entón QQ^T é unha relación de equivalencia no dominio de Q, consulte Relación transitiva#Propiedades relacionadas.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Grafo transposto.