Raíz (matemáticas)

Modelo:1000 artigos icona título Modelo:Outros homónimos En Matemáticas, a raíz enésima dun número x é un número r que elevado á enésima potencia é igual a x

$r^n=x,$

onde n é o índice da raíz. Unha raíz de índice 2 chámase raíz cadrada e a de índice 3, raíz cúbica. As raíces de índice superior chámanse empregando o ordinal, como raíz cuarta ou raíz quinta.

Por exemplo:

• 2 é a raíz cadrada de 4, porque 2² = 4.
• −2 tamén é raíz cadrada de 4, porque (−2)² = 4.

Na análise matemática, as raíces son tratadas como un caso particular de potenciación, onde o exponente é unha fracción:

$\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$

As raíces adoitan ser escritas empregando o símbolo $\sqrt{}$, con $\sqrt{x}$ indicando unha raíz cadrada, $\sqrt[3]{x}$ unha raíz cúbica, $\sqrt[4]{x}$ unha raíz cuarta e así sucesivamente. Na expresión $\sqrt[n]{x}$, n é o índice e x é o radicando. Calquera expresión que conteña unha raíz é chamada expresión radical.

Historia

A orixe do símbolo de raíz √ é dubidosa. Moitos expertos, incluíndo Leonhard Euler, cren que procede da letra "r", inicial da palabra latina "radix", que significa "raíz". O símbolo aparece impreso por vez primeira, sen o trazo horizontal, en 1525 na obra Die Coss do matemático alemán Christoff Rudolff.

Propiedades

As catro raíces cuartas de -1, ningunha delas real

As tres raíces cúbicas de −1,
unha delas real negativa

Todos os números reais positivos teñen raíz real enésima. Se o índice da raíz é impar esta raíz é un único número positivo. Se o índice é par a raíz é dobre (un número e o seu oposto).

Os números reais negativos non teñen raíz real se o índice da raíz é par e teñen como raíz un único número real negativo se o índice da raíz é impar.

A raíz dun número real que non sexa potencia perfecta é un número irracional.

Un número complexo distinto de 0 ten n raíces distintas de índice n.

Os números reais cumpren:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b},$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}.$

$\sqrt[n]{a^m}={\left(a^m\right)}^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}.$

Porén, pode haber problemas no caso dos números complexos. Por exemplo:

$\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}=-1$

pero

$\sqrt{-1\times -1}=1$

se tomamos un certo valor da raíz.

Simplificación de expresións radicais

Unha expresión radical está simplificada se

• Ningún factor do radicando pode ser escrito como potencia de expoñente maior có índice da raíz.
• Non hai fraccións baixo o símbolo de raíz.
• Non hai expresións radicais no denominador.

Por exemplo, para simplificar a expresión $\sqrt{\frac{32}{5}}$ podemos buscar un cadrado perfecto dentro da raíz e sacalo fóra:

$\sqrt{\frac{32}{5}}=\sqrt{\frac{16\cdot 2}{5}}=4\sqrt{\frac{2}{5}}$

Logo, ao haber unha fracción no radical cambiamos como segue:

$4\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Finalmente quitamos a raíz do denominador:

$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$

Cando no denominador hai unha suma de raíces pódese atopar un factor polo que multiplicar numerador e denominador para simplificar a expresión, o que se denomina racionalizar:

$\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}.$

Serie infinita

A raíz pode ser representada coa serie:

$(1+x{)}^{s/t}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^n}{x}^n$

con $|x|<1$.

Función raíz

Sexa n un número natural non nulo. A aplicación x → xⁿ define unha función, de $ℝ$ en $ℝ$ se n é impar, e de ${ℝ}^{+}=[0,\mathrm{\infty }]$ se $n$ é par. Chámase raíz enésima, ou raíz de índice n á súa función inversa, e indícase: $y=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$.

No gráfico seguinte, están debuxadas as gráficas das funcións definidas por algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A recta de ecuación y = x é o eixe de simetría entre cada curva e a curva da súa inversa.

Cambiando de escala:

Véxase tamén

Outros artigos

• Raíz cadrada
• Lista de funcións matemáticas