Partícula libre

Na física, unha partícula libre é unha partícula que, en certo sentido, non está enlazada. En física clásica isto significa que a partícula non está sometida a ningunha forza.

Partícula libre clásica

A partícula libre clásica caracterízase simplemente pola súa velocidade constante. O momento linear vén dado por Modelo:Ecuación e a enerxía por Modelo:Ecuación onde $m$ é a masa da partícula e $𝐯$ o vector velocidade da partícula.

Partícula libre cuántica non-relativista

A ecuación de Schrödinger dependente do tempo para unha partícula libre é: Modelo:Ecuación

É fácil comprobar que para este sistema o operador Hamiltoniano conmuta co operador momento e, polo tanto, existe un conxunto completo de solucións comúns. A solución correspondente a valores definidos da enerxía e do momento vén dada por unha onda plana: Modelo:Ecuación e, polo tanto, coa restrición Modelo:Ecuación onde r é o vector posición, t é o tempo, k é o vector de onda, ω é a frecuencia angular e $A$ a amplitude. Unha onda plana representa o estado dunha partícula libre cunha probabilidade uniforme en todo o espazo, debido a que a densidade de probabilidade toma un valor constante e independente da posición r e do tempo t, $| Ψ (𝐫, t) |^{2} = Ψ^{*} Ψ = | A |^{2}$ . Como a integral de $Ψ^{*} Ψ$ sobre todo o espazo debe de ser a unidade, hai un problema á hora de normalizar esta autofunción do momento (unha alternativa é considerar a normalización en función do fluxo). Mais non será un problema para unha partícula libre máis xeral, xa que dalgún xeito encontrarase localizada tanto na súa posición como no seu momento (véxase partícula nunha caixa para un trato máis detallado).

Paquete de onda

Unha partícula libre máis xeral non ten un momento ou unha enerxía definida. Neste caso, a función de onda da partícula libre represéntase como unha superposición de ondas planas (que describen o estado dunha partícula libre de momento definido), denominada paquete de ondas: Modelo:Ecuación onde a integral se define sobre todo o espazo k, e onde $ω$ depende de $k$ segundo a ecuación Modelo:Eqnref. Nótese que esta función, ao contrario que as ondas planas, é de cadrado integrable e, polo tanto, pódese normalizar.^[1]

A velocidade de grupo da onda defínese como Modelo:Ecuación onde $v$ é a velocidade clásica da partícula. A velocidade de fase da onda defínese como Modelo:Ecuación

Se supoñemos por simplicidade que a variación da amplitude $A (𝐤)$ é simétrica respecto do seu valor máximo $𝐤_{0}$ , obtemos que o valor esperado do momento p é Modelo:Ecuación mentres que o valor esperado da enerxía $E$ é Modelo:Ecuación

Despexando $𝐤_{0}$ e ω e substituíndo na ecuación que as relaciona, obtemos a relación xa coñecida entre enerxía e momento para partículas non-relativistas con masa $m$ Modelo:Ecuación onde p=|p|.

Densidade de corrente na mecánica cuántica

Na mecánica cuántica, a corrente de probabilidade é un concepto que describe o fluxo de densidade de probabilidade. Así, en mecánica cuántica non-relativista, defínese como Modelo:Ecuación

Para o caso dunha partícula libre $Ψ (𝐫, t) = A e^{i (𝐤 \cdot 𝐫 - ω t)}$ , a corrente de probabilidade vén dada por

Modelo:Ecuación