Operación binaria

Unha operación binaria defínese como aquela operación matemática que precisa dun operador e de dous operandos (argumentos) para que se poida calcular un valor.

Dados tres conxuntos A, B e C, unha operación binaria é unha aplicación que asigna a cada par de valores a de A e b de B un só valor c de C, que podemos representar:

$f:A\times B\to C$

Representando a operación polo signo $⊚$ podemos expresar a operación:

$a⊚b=c,⊚(a,b)=c,(a,b)\stackrel{⊚}{\to }c$

Por exemplo, o operador de suma «+» de números naturais é un operador binario, porque require dous argumentos:

$\begin{array}{ccc}+:N\times N& \to & N\\ (a,b)& \to & c=a+b\end{array}$

e temos que:

$2+3=5,+(2,3)=5,(2,3)\stackrel{+}{\to }5$

O número de argumentos dunha función denomínase aridade.

Clase de operación binaria

Segundo os conxuntos A, B e C podemos diferenciar dous tipos de operacións, as internas nas que A = B = C, e as externas que son tódalas demais.

Operación interna

Se a cada par de valores (a, b) de $A^2$ a operación lle corresponde un valor c de A:

$f:A\times A\to A$

dise que esta operación é interna, e así, por exemplo, dado o conxunto de vectores de tres dimensións $V^3$, e a suma de vectores, temos:

$+:V^3\times V^3\to V^3$

que a suma de dous vectores de $V^3$ é outro vector de $V^3$. Por exemplo, dados os vectores:

$𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$

$𝐛=b_x𝐢+b_y𝐣+b_z𝐤$

a súa suma é:

$𝐜=𝐚+𝐛,𝐜=(a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤)+(b_x𝐢+b_y𝐣+b_z𝐤),𝐜=(a_x+b_x)𝐢+(a_y+b_y)𝐣+(a_z+b_z)𝐤$

Operación externa

Se a operación non é interna, entón é externa, podéndose presentar os seguintes casos:

• Se a cada par de valores a de A e b de B, asígnaselle un valor c de A,

$f:A\times B\to A$

a esta operación tamén se lle denomina lei de composición externa. Un exemplo sinxelo desta operación é o produto dun vector por un escalar:

$\cdot :V^3\times R\to V^3$

así, dado o vector:

$𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$

o resultado de multiplicalo por un escalar b, será:

$𝐜=𝐚\cdot b,𝐜=(a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤)\cdot b,𝐜=(a_x\cdot b)𝐢+(a_y\cdot b)𝐣+(a_z\cdot b)𝐤$

• Se a operación é da forma:

$f:A\times A\to B$

na que a cada par de valores a, b de A se lle asigna un c de B, esta operación non se denomina lei de composición. Como exemplo podemos poñer o produto escalar de dous vectores, que da como resultado un número real:

$\circ :V^3\times V^3\to R$

así pois, dados os vectores:

$𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$

$𝐛=b_x𝐢+b_y𝐣+b_z𝐤$

o seu produto escalar será:

$𝐜=𝐚\circ 𝐛,𝐜=(a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤)\circ (b_x𝐢+b_y𝐣+b_z𝐤),𝐜=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z$

• Se a operación lle asigna a cada par de valores a de A e b de B un c de C, sendo A, B e C conxuntos distintos:

$f:A\times B\to C$

é o caso máis xeral, e tampouco se denomina lei de composición. Podemos ver o exemplo da división dun número enteiro entre un número natural para dar como resultado un número racional

$\begin{array}{ccc}/:Z\times N& \to & Q\\ (a,b)& \to & c=a/b\end{array}$

Véxase tamén

Outros artigos

• Operador
• Operación unaria
• Operador ternario
• Conmutatividade
• Asociatividade
• Elemento neutro
• Elemento simétrico
• Distributividade