Número superperfecto

En teoría de números, un número superperfecto é un número enteiro positivo Modelo:Mvar que satisfai

${\sigma }^2(n)=\sigma (\sigma (n))=2n,$

onde Modelo:Mvar é a función sumatorio de divisores. Os números superperfectos non son unha xeneralización dos números perfectos senón que teñen unha xeneralización común. O termo foi acuñado por D. Suryanarayana (1969).

Os primeiros números superperfectos son:

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824 ,... Modelo:OEIS.

Para poder entedelo mellor, aquí un exemplo: 16 é un número superperfecto xa que Modelo:Nowrap, e Modelo:Nowrap, polo que Modelo:Nowrap.

Se Modelo:Mvar é un número superperfecto par, entón Modelo:Mvar debe ser unha potencia de 2, Modelo:Math, tal que Modelo:Math é un primo de Mersenne.

Non se sabe se existen números superperfectos impares. Un número superperfecto impar Modelo:Mvar tería que ser un número cadrado tal que Modelo:Mvar ou Modelo:Math sexa divisible por polo menos tres primos distintos. Non hai números superperfectos impares por debaixo de $7\times 10^{24}$.

Xeneralizacións

Os números perfectos e superperfectos son exemplos dunha clase denominada números m-superperfectos, que son os que satisfán

${\sigma }^m(n)=2n,$

para os números perfectos m=1 e para os superperfectos m=2 respectivamente. Para m ≥ 3 non hai números m-superperfectos pares.

Os números m-superperfectos son á súa vez exemplos de (m, k)-números perfectos que satisfán

${\sigma }^m(n)=kn.$

Con esta notación, os números perfectos son (1,2)-perfectos, os números multiperfectos son (1, k)-perfectos, os números superperfectos son (2,2)-perfectos e os números m-superperfectos son (m, 2)-perfectos. Exemplos de clases de (m, k)-números perfectos son:

m	k	números (m,k)-perfectos	Secuencia OEIS
2	2	2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144	Modelo:OEIS
2	3	8, 21, 512	Modelo:OEIS
2	4	15, 1023, 29127	Modelo:OEIS
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	Modelo:OEIS
2	7	24, 1536, 47360, 343976	Modelo:OEIS
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	Modelo:OEIS
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	Modelo:OEIS
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	Modelo:OEIS
2	11	4404480, 57669920, 238608384	Modelo:OEIS
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	Modelo:OEIS
3	calquera	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	Modelo:OEIS
4	calquera	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	Modelo:OEIS

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Ligazóns externas

• Modelo:PlanetMath