Número hexagonal

Proba visual de que un número hexagonal (columna do medio) pode ser reordenado como números rectangulares e triangulares de lados impares

Un número hexagonal é un número figurado que estende o concepto de cadrados perfectos e números triangulares ao hexágono. Está estensión non é total, o modelo para a construción dos números hexagonais non ten simetrías. O n-ésimo número hexagonal h_n é o número de puntos distintos nun modelo de puntos que consiste nos contornos de hexágonos regulares que comparten un vértide de lados de 1 punto ata de lados de n puntos.

Os catro primeiros números hexagonais.

A fórmula do n- ésimo número hexagonal

$h_n=2n^2-n=n(2n-1)=\frac{2n(2n-1)}{2}.$

Os primeiros números hexagonais Modelo:OEIS son:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...

Todo número hexagonal é un número triangular, pero só os números triangulares que ocupan unha posición impar (o 1º, 3º, 5º, 7º, etc.) son números hexagonais.

Todo número perfecto par é hexagonal, dado pola fórmula

$M_p{2}^{p-1}=M_p\frac{M_p+1}{2}=h_{(M_p+1)/2}=h_{2^{p-1}}$

onde M _p é un primo de Mersenne . Non se coñecen números perfectos impares, polo que todos os números perfectos coñecidos son hexagonais.

Por exemplo, o segundo número hexagonal é 2×3 = 6; o 4º é 4×7 = 28; o 16 é 16×31 = 496; e o número 64 é 64×127 = 8128.

Adrien-Marie Legendre demostrou en 1830 que calquera número enteiro maior que 1791 pode expresarse como suma de catro números hexagonais. O maior número que non se pode escribir desta maneira é o 130.

Ademais, se buscamos expresar todos os enteiros positivos empregando cinco números hexagonais, só dous números non se poden expresar así, sendo os 11 e 26.

Non debemos confundir os números hexagonais, cos números hexagonais centrados, que se difiren pola contrucción da malla de puntos.

Proba de números hexagonais

Pódese probar que número enteiro positivo x é un número hexagonal empregando a fórmula:

$n=\frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}.$

Se n é un número enteiro, entón x é o n- ésimo número hexagonal. Se n non é un número enteiro, entón x non é hexagonal.

Relacións de congruencia

• $h_n\equiv n(\mathrm{mod}4)$
• $h_{3n}+h_{2n}+h_n\equiv 0(\mathrm{mod}2)$

Outras propiedades

Expresión mediante sumatorio

O n- ésimo número da secuencia hexagonal tamén se pode expresar usando un sumatorio como

$h_n=\sum _{k=0}^{n-1}(4k+1)$

Suma dos recíprocos dos números hexagonais

A suma dos recíprocos dos números hexagonais é Modelo:Math, onde Modelo:Math denota logaritmo natural .

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(2k-1)}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }2\sum _{k=1}^n(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k})\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }2\sum _{k=1}^n(\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{k})\\ & =2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k})\\ & =2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}\\ & =2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\ & =2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}dx\\ & =2[\ln (1+x){]}_0^1\\ & =2\ln 2\\ & \approx 1.386294\end{array}$

Multiplicando o índice

Usando a reordenación, dáse o seguinte conxunto de fórmulas:

$h_{2n}=4h_n+2n$

$h_{3n}=9h_n+6n$

$...$

$h_{m*n}=m^2{h}_n+(m^2-m)n$

Relación de proporción

Empregnado a fórmula anterior con respecto a m e despois n, e logo reducindo e movendo, pódese chegar á seguinte ecuación:

$\frac{h_m+m}{h_n+n}={\left(\frac{m}{n}\right)}^2$

Números cadrados hexagonais

A secuencia de números que son á vez hexagonais e cadrados perfectos comeza por 1, 1225, 1413721,... Modelo:OEIS

Notas

1. Modelo:MathWorld

Véxase tamén

Outros artigos

• Número hexagonal centrado
• Número triangular
• Número cadrado perfecto