Implicación recíproca

En lóxica e matemáticas, a implicación recíproca ou inversa dun enunciado categórico ou implicacional é o resultado de inverter os seus dous enunciados constituíntes. Para a implicación P → Q, a recíproca é Q → P. Para a proposición categórica Todos os S son P, a recíproca é Todos os P son S. De calquera xeito, a verdade do recíproco é xeralmente independente da afirmación orixinal.

Implicación recíproca

Sexa S un enunciado da forma P implica Q (P → Q). Entón a recíproca de S é a afirmación Q implica P (Q → P). En xeral, a verdade de S non di nada sobre a verdade da súa recíproca, a non ser que o antecedente P e o consecuente Q sexan loxicamente equivalentes.

Por exemplo, considere a afirmación verdadeira "Se son humano, entón son mortal". A inversa desa afirmación é "Se son mortal, entón son un humano", o que non é necesariamente certo (mortal tamén pode ser unha cobra ou un paporrubio).

No entanto, a recíproca dun enunciado con termos mutuamente inclusivos segue sendo certa, dada a verdade da proposición orixinal. Isto equivale a dicir que a recíproca dunha definición é verdade. Así, a afirmación "Se son un triángulo, entón son un polígono de tres lados" é loxicamente equivalente a "Se son un polígono de tres lados, entón son un triángulo", porque a definición de "triángulo" é " polígono de tres lados".

Unha táboa de verdade deixa claro que S e a recíproca de S non son loxicamente equivalentes, a non ser que ambos os termos se impliquen entre si: Modelo:2-ary truth table Pasar dunha afirmación á súa recíproca é a falacia de afirmar o consecuente. Porén, se o enunciado S e o seu recíproco son equivalentes (é dicir, P é verdadeiro se e só se Q tamén é verdade), entón será válido afirmar a conclusión (lóxica).

A implicación recíproca é loxicamente equivalente á disxunción de $P$ e $\mathrm{\neg }Q$

$P\leftarrow Q$	$\iff$	$P$	$\vee$	$\mathrm{\neg }Q$
Erro ao crear a miniatura:	$\iff$	Ficheiro:Venn0101.svg	$\vee$	Erro ao crear a miniatura:

Recíproca dun teorema

A recíproca dun teorema pode ser verdadeira ou non, e aínda que sexa verdade, a proba pode ser difícil. Por exemplo, o teorema dos catro vértices demostrouse en 1912, mais a súa recíproca só se demostrou en 1997.

A inversa de "Dado P, se Q entón R " será "Dado P, se R entón Q" . Por exemplo, o teorema de Pitágoras pódese enunciar como:

Dado un triángulo con lados de lonxitude

$a$

,

$b$

, e

$c$

, se o ángulo oposto ao lado da lonxitude

$c$

é un ángulo recto, entón

$a^2+b^2=c^2$

.

A recíproca, que tamén aparece nos Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), pódese afirmar como:

Dado un triángulo con lados de lonxitude

$a$

,

$b$

, e

$c$

, se

$a^2+b^2=c^2$

, entón o ángulo oposto ao lado da lonxitude

$c$

é un ángulo recto.

Recíproca dunha relación

Ficheiro:An example of converse property.png

Recíproca dunha relación matemática sinxela

Se $R$ é unha relación binaria con $R\subseteq A\times B,$ entón a relación inversa $R^T=\{(b,a):(a,b)\in R\}$ tamén se chama transposta.

Notación

A recíproca da implicación P → Q pódese escribir Q → P, $P\leftarrow Q$, e tamén se pode denotar $P\subset Q$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Aristotle. Organon.
• Copi, Irving. Introduction to Logic. MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Symbolic Logic. MacMillan, 1979, fifth edition.
• Stebbing, Susan. A Modern Introduction to Logic. Cromwell Company, 1931.

Outros artigos

• Conectiva lóxica.
• Táboa de verdade.
• Teoría da orde.

Ligazóns externas

• forall x: Calgary An Introduction to Formal Logic.