Función de Thomae

Puntos da gráfica da función no (0,1)

A Función de Thomae, chamada así en honra a Carl Johannes Thomae, tamén coñecida como a función das pipocas, a función gotas de choiva, a función das nubes numerables, a función modificada de Dirichlet, a función da regra, ou as estrelas sobre Babilonia (por John Horton Conway) é unha modificación da función de Dirichlet. O valor real da función f(x) defínese como segue:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{q},& \text{se }x\in \mathbb{Q}|x=\frac{p}{q},q\in \mathbb{N},p\in \mathbb{Z}\wedge \text{mcd}(p,q)\\ 0,& \text{se }x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

onde:

• ℚ é o conxunto dos números racionais
• ℕ é o conxunto dos números naturais
• ℤ é o conxunto dos números enteiros
• mcd é o máximo común divisor

Se x = 0, tómase q = 1. Asumindo que o mcd(p, q) = 1 e q > 0 dá unha representación única do número racional (exemplo, excluíndo a representación de 2/4 como 1/2) facendo de f unha función ben definida.

Descontinuidades

A función das pipocas é talvez o exemplo máis simple dunha función cun complexo conxunto de descontinuidades: f é continua en todos os números irracionais e descontinua en todos os números racionais.

Demostración informal

Claramente, f é descontinua en todos os racionais: desde que os irracionais son densos nos reais, para algún racional 'x', sen importar que $\epsilon$ se elixa, podemos atopar un irracional 'a' a unha distancia menor que $\epsilon$ onde f(a) = 0 (pero f(x) é positivo). Noutras palabras, f non se pode aproximar a calquera número positivo, xa que o seu codominio está cheo de ceros.

Para mostrar a continuidade nos irracionais, sen perda de xeneralidade supomos que $\epsilon$ é racional (para algún $\epsilon$ irracional podemos optar por unha $\epsilon$ racional máis pequena e a proba é transitiva). Posto que $\epsilon$ é racional, pode ser expresada en termos máis sinxelos como a/b. Queremos mostrar que f é continua en 'x' cando 'x' é irracional.

Note que f toma o seu valor máximo de 1 en cada número enteiro, polo que podemos restrinxir o noso estudo entre $\lfloor x\rfloor$ e $\lceil x\rceil$. Como $\epsilon$ ten un denominador finito b, os únicos valores para os que f pode devolver un valor maior a $\epsilon$ son os que teñen un denominador menor ou igual a b. Non só existe un número finito de valores entre dous enteiros con denominador menor ou igual que b, polo que estes pódense enumerar de maneira exhaustiva. Elixindo $\delta$ como a distancia máis pequena próxima de 'x' a un destes valores garante que todos os valores cunha distancia menor teñan f(x) < $\epsilon$.

Integrabilidade

A función é Riemann integrable baixo o seguinte criterio:Modelo:Teorema Ademais, o conxunto de descontinuidades son os números racionais, e os racionais son numerables, o conxunto ten medida cero, polo que a función no [0, 1], verifica o criterio de Lebesgue, e por tanto é Riemann integrable no [0, 1].

Seguimento

Unha pregunta natural é se hai unha función continua nos números racionais e descontinua nos números irracionais. Isto é imposible porque o conxunto de descontinuidades dunha función debe ser un conxunto $F_{\sigma }$, unión numerable de conxuntos pechados. Se tal función existise, os irracionais serían un conxunto $F_{\sigma }$ e por tanto, xa que non conteñen un intervalo, serían un conxunto escaso. Como os números reais, son a unión de racionais e irracionais, serían un conxunto escaso. Isto contradi o Teorema de categoría de Baire.

Unha variante da función das pipocas pode ser usada para mostrar que calquera conxunto $F_{\sigma }$ de números reais pode ser un conxunto de descontinuidades dunha función. Se $A={\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n$ é a unión numerable de conxuntos pechados $F_n$, definimos

$f_A(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{n}\text{ se }x\in \mathbb{Q}\text{ e }n\text{ é mínima para que }x\in F_n\\ -\frac{1}{n}\text{ se }x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\text{ e }n\text{ é mínima para que }x\in F_n\\ 0\text{ se }x\notin A\end{array}$

Un argumento similar ao utilizado para a función das pipocas mostra que $f_A$ ten a A como conxunto de descontinuidades.

Véxase tamén

Bibliografía

• Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert (1999), Introdución á Análise Real, 3.ª Edición (Exemplo 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
• Spivak, M. Cálculo en variedades. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
• Abbot, Stephen. Entendendo Análise. Berlín: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Um gráfico Interessante Modelo:Pt