Cuantificador (lóxica)

En lóxica formal, un cuantificador é unha expresión que indica o número de veces que se cumpre un predicado ou propiedade P dentro dunha determinada clase (por exemplo, pertenza, equivalencia ou orde). Existen moitos tipos de cuantificadores, entre os máis utilizados están:

• Cuantificador universal

$\mathrm{\forall }x,y\dots$

Para todo x, y...

• Cuantificador existencial

$\mathrm{\exists }x,y\dots$

Existe polo menos un x, y...

• Cuantificador existencial único

$\mathrm{\exists }!x,y\dots$

Existe exactamente un x, y...

• Negación do cuantificador existencial

$\nexists x,y\dots$

Non existe ningún x, y...

Declaracións cuantificadas

As declaracións cuantificadas escríbense na forma:

• $\mathrm{\forall }x\in ℝ,2x\in ℝ$

Para todo x que pertence a R, é certo que 2x pertence a R.

• $\mathrm{\forall }a\in ℝ,\mathrm{\exists }x\in ℝ:a<x<(a+1)$

Para todo a que pertence a R, existe algún ou varios x que pertencen a R, que está entre a e a+1.

• $\mathrm{\forall }a\in ℝ-\left\{0\right\},\mathrm{\exists }!x\in ℝ:a\cdot x=1$

Para todo a pertencente a R que é diferente de cero, existe un único x que pertence a R, que satisfai que a por x é igual a 1.

Proposicións

Cuantificación universal

O cuantificador universal úsase para afirmar que todos os elementos dun conxunto satisfán unha determinada propiedade. Por exemplo:

$\mathrm{\forall }x\in A:P(x)$

Para todo x pertencente a A, cúmprese P(x) .

Esta afirmación úsase a miúdo como o equivalente da seguinte proposición:

$A=\{x\in U:P(x)\}$

O conxunto A defínese como o conxunto de elementos x de U que satisfán P(x) .

Cuantificación existencial

O cuantificador existencial úsase para indicar que hai un ou máis elementos no conxunto $A$ (non necesariamente únicos) que cumpren unha determinada propiedade. Por exemplo:

$\mathrm{\exists }x\in A:P(x)$

Existe polo menos un x en A que satisfai P(x) .

Esta proposición adoita interpretarse como o equivalente á seguinte proposición:

$\{x\in A:P(x)\}\ne \mathrm{\varnothing }$

O conxunto de elementos x de A, que satisfán P(x) é diferente do conxunto baleiro.

Cuantificación existencial única

O cuantificador existencial marcado pola unicidade utilízase para indicar que existe un único elemento dun conxunto A que satisfai unha determinada propiedade. Escríbese como:Modelo:EcuaciónLese:

Existe un único elemento x de A, que satisfai P(x) .

Equivalencias

Existen as seguintes relacións universais:

$\mathrm{\forall }x\in A:P(x)⟷\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x\in A:\mathrm{\neg }P(x)$

Para todo x en A, cúmprese P(x) se e só se non existe ningún x en A que non satisfaga P(x).

$\mathrm{\exists }x\in A:P(x)⟷\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }x\in A:\mathrm{\neg }P(x)$

Existe polo menos un x en A que satisfai P(x) se e só se non é certo que para todo x en A, P(x) non se cumpre.

Leis de De Morgan

As leis de De Morgan para os cuantificadores son as seguintes:

• $\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xP(x)\equiv \mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }P(x)$

A negación é falsa se para todo $x$ o predicado é verdade. Pola contra, é certo se existe un $x$ para o cal $P(x)$ é falsa.

• $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }xP(x)\equiv \mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }P(x)$

A negación é verdadeira se para todo $x$ a función proposicional $P$ de $x$ é falsa e é falsa se existe un $x$ para o cal $P(x)$ é verdadeira.

Precedencia dos cuantificadores

A orde de prioridade (precedencia) dos cuantificadores $\mathrm{\forall }$ e $\mathrm{\exists }$ é de maior grao de preferencia que os outros operadores lóxicos.

Exemplos:

Cando poñemos $\mathrm{\forall }xP(x)\wedge M(x)$, a orde de prioridade obríganos a realizar primeiro o cuantificador universal aplicado a $P(x)$ (indicado cun paréntese a maiores) e a ese resultado aplicar o and lóxico ( $\wedge$ ) con $M(x)$, isto é: $(\mathrm{\forall }xP(x))\wedge M(x)$. Este exemplo pódese ver para os diferentes cuantificadores.

No caso de querer priorizar o operador lóxico ( $\wedge$ ) teremos que poñer parénteses para forzar a prioridade desa operación $\mathrm{\forall }x(P(x)\wedge M(x)).$

Un erro moi común é considerar que $\mathrm{\forall }xP(x)\wedge M(x)$ É o mesmo que $\mathrm{\forall }x(P(x)\wedge M(x))$ que non é o caso, xa que non se respecta a orde de prioridade, polo que o correcto sería $(\mathrm{\forall }xP(x))\wedge M(x)$.

Regras de troco

• Primeira regra :

Un cuantificador universal ( $\mathrm{\forall }$ ) afirmativo equivale á negación dun cuantificador existencial.

$(\mathrm{\forall }xP(x))\leftrightarrow (\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }P(x))$

Para todo $x$, $P$ é certo, equivale a que sexa falso que algúns $x$ non cumpran $P$.

• Segunda regra :

Un cuantificador existencial ( $\mathrm{\exists }$ ) afirmativo equivale á negación do cuantificador universal negación ( $\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }$ ) xunto á negación do predicado.

$(\mathrm{\exists }xP(x))\leftrightarrow (\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }P(x))$

Que exista algún $x$ para o que $P$ é certo, equivale a dicir que non acontece que para todo $x$ non cumpre $P$.

• Terceira regra :

A negación dun cuantificador universal ( $\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }$ ) equivale a un cuantificador existencial ( $\mathrm{\exists }$ ) co predicado negado.

$(\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xP(x))\leftrightarrow (\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }P(x))$

É falso que todos os $x$ cumpren $P$, é equivalente a algúns $x$ non cumpren $P$.

• Cuarta regra :

A negación dun cuantificador existencial ( $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }$ ) equivale a un cuantificador universal ( $\mathrm{\forall }$ ) co predicado negado.

$(\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }xP(x))\leftrightarrow (\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }P(x))$

É falso que algún $x$ cumpra $P$, é equivalente a todos os $x$ non cumpren $P$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Shapiro, Stewart (2000). "Classical Logic" (Covers syntax, model theory, and metatheory for first order logic in the natural deduction style.)
  • Westerståhl, Dag (2005). "Generalized quantifiers"
• Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Quantifiers" Modelo:Webarchive

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Modelo:Cita web. From College of Natural Sciences, University of Hawaii at Manoa.