Teorema do coseno

O teorema do coseno é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados:

Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e a, b, c, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón:

Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores.

Fig. 1 - Notación máis habitual dun triángulo.

Historia

Os Elementos de Euclides, que data do século III a. C., contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo. A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas. Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos:

Sendo ABC o triángulo, co ángulo obtuso en C, e BH a altura respecto do vértice B (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra. Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi, matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.

Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro Introductio in analysin infinitorum, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno.

O teorema e as súas aplicacións

O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de teorema de Pitágoras xeneralizado, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo $\gamma$ é recto ou, dito doutro xeito, cando $\cos \gamma =0$, o teorema do coseno redúcese a: Modelo:Ecuación que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización do teorema do coseno: ángulo ou lado descoñecido.

O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar

• o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes:

• os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados:

Modelo:Ecuación Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado c é moi pequeno respecto os lados a e b —ou o seu equivalente, cando o ángulo γ é moi pequeno.

Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e A'B'C' Modelo:Ecuación

Demostracións

Por repartición de áreas

Fig. 4a - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é agudo.

Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que

• a², b², c² son as áreas dos cadrados de lados respectivos a, b, c.
• ab cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados a e b que forman un ángulo de 90°-γ.

Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos

A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte:

• En verde, as áreas a², b² á esquerda, e a área , c² á dereita.
• En vermello, o triángulo ABC en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao ABC.
• En azul, paralelogramos de lados a e b con ángulo 90°-γ.

Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que $a^2+b^2=c^2+2ab\cos \gamma$, equivalente ao Teorema do coseno. Modelo:Clear

Fig. 4b - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é obtuso.

A figura 4b (contigua) divide un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra

• En verde a², b² á esquerda e c² á dereita.
• En azul -2ab cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
• En vermello, dúas veces o triángulo ABC para ambos lados da figura.

Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá $a^2+b^2-2ab\cos \gamma =c^2$, como queríamos demostrar. Modelo:Clear

Polo teorema de Pitágoras

Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo $\gamma$ é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando c é adxacente a dous ángulos agudos e cando c é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso.

Primeiro caso: c é adxacente a dous ángulos agudos.

Caso 1: c é adxacente a dous ángulos agudos

Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude c é calculada así: Modelo:Ecuación Pero, a lonxitude h tamén se calcula así: Modelo:Ecuación

Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos: Modelo:Ecuación

Pola definición de coseno, tense: Modelo:Ecuación e polo tanto: Modelo:Ecuación Substituímos o valor de u na ecuación para $c^2$, concluíndo que: Modelo:Ecuación co que conclúe a proba do primeiro caso.

Segundo caso: c é adxacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c é adxacente a un ángulo obtuso

Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente $c^2=h^2+u^2$ pero neste caso $h^2=a^2-(b+u{)}^2$. Combinando ambas ecuacións obtemos $c^2=u^2+a^2-b^2-2bu-u^2$ e deste xeito: Modelo:Ecuación

Da definición de coseno, tense $cos\gamma =\frac{b+u}{a}$ e polo tanto: Modelo:Ecuación Substituímos na expresión para c² e simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluíndo novamente Modelo:Ecuación Isto conclúe a demostración.

É importante notar, que se se considera a u como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma. Modelo:Clear

Pola potencia dun punto con respecto a un círculo

Fig. 6 - Demostración do teorema do coseno utilizando a potencia dun punto con respecto a un círculo.

Consideremos un círculo con centro en B e radio BC, como na figura 6. Se AC é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando AC non é tanxente, existe outro punto K de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é Modelo:Ecuación Por outro lado, AL = c+a e AP = c-a de modo que Modelo:Ecuación

Ademais, CK= -2a cos(γ) polo que Modelo:Ecuación

Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a: Modelo:Ecuación

Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo. Modelo:Clear

Polo cálculo vectorial

Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas:

$c^2$	$=\Vert \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\Vert }^2$
	$=\Vert \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}{\Vert }^2$
	$=\Vert \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}{\Vert }^2-2\cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}+\Vert \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}{\Vert }^2$
	$={\mathrm{C}\mathrm{B}}^2-2\cdot \left|\mathrm{C}\mathrm{B}\right|\cdot \left|\mathrm{C}\mathrm{A}\right|\cos \widehat{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}+{\mathrm{C}\mathrm{A}}^2$
	$=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Xeneralización en xeometrías non euclidianas

Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensións reducidas a, b e c ; ángulos α, β e γ.

Para unha superficie non euclidiana de curvatura K, sinalamos con R o radio de curvatura. Este verifica

$R=1/\sqrt{|K|}$.

Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo:

$a=BC/R$,

$b=AC/R$,

$c=AB/R$.

No caso dun triángulo esférico, a, b e c corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximal [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7). Modelo:Clear

Xeometría esférica

Modelo:Artigo principal Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando

$a<<1$,

esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, :$\cos a=1-a^2/2+O(a^3)$ etc.

Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos:

$\cos \gamma =-\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cos c$

Xeometría hiperbólica

Modelo:Artigo principal Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese

$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos \gamma$.

Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados

$\sinh a=a+O(a^3)$ etc.,

$\cosh a=1+a^2/2+O(a^3)$ etc.

Xeneralización no espazo euclidiano

Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras e ángulos.

Consideremos un tetraedro A₁A₂A₃A₄ do espazo euclidiano, sendo:

${\mathrm{S}}_k$ a cara oposta ao vértice ${\mathrm{A}}_k$;

$s_k$ a superficie de ${\mathrm{S}}_k$;

${\mathrm{\Delta }}_k$ o plano que contén a cara ${\mathrm{S}}_k$;

${\theta }_{ij}$ o ángulo diedral $\widehat{({\mathrm{\Delta }}_i,{\mathrm{\Delta }}_j)}$.

(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).

Entón, as superficies e ángulos verifican:

$s_4^2=s_1^2+s_2^2+s_3^2-2s_1{s}_2\cos {\theta }_{12}$

$-2s_1{s}_3\cos {\theta }_{13}-2s_2{s}_3\cos {\theta }_{23}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Los Elementos, tomo II, Euclides. Modelo:Es
• Law of cosines, en Math World Modelo:En
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Trigonometría
  • Triangulación
  • Trigonometría esférica
  • Función trigonométrica
• Xeometría do triángulo
  • Teorema de Pitágoras
  • Teorema do seno
• Matemáticos
  • Euclides
  • al-Battani
  • Ghiyath al-Kashi
  • François Viète