Regra de l'Hôpital

A regra de l'Hôpital ou regra de l'Hôpital-Bernoulli utilízase nas matemáticas, máis especificamente no cálculo infinitesimal, para determinar límites que doutro xeito sería complicado calcular. A regra di que, dadas dúas funcións f(x) e g(x) continuas e derivábeis en x = c, se f(x) e g(x) tenden ambas a cero ou a infinito cando x tende a c, entón o límite cando x tende a c do cociente de f(x) e g(x) é igual ao límite cando x tende a c do cociente das derivadas de f(x) e g(x), sempre que este límite exista (c pode ser finito ou infinito):

Esta regra recibe o seu nome na honra do matemático francés do século XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quen deu a coñecer a regra na súa obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), considerado o primeiro texto escrito sobre cálculo diferencial, aínda que actualmente se sabe que a regra se lle debe a Johann Bernoulli, que foi quen a desenvolveu e demostrou.

Forma xeral

A forma xeral da regra de L'Hôpital abrangue moitos casos. Sexan Modelo:Math e Modelo:Math números reais estendidos: números reais con infinito positivo ou negativo. Sexa Modelo:Math un intervalo aberto que contén Modelo:Math (para un límite polos dous lados) ou un intervalo aberto co punto final Modelo:Math (para un límite por un lado, ou un límite no infinito se Modelo:Math é infinito. En $I\setminus \{c\}$, as funcións con valores reais Modelo:Math e Modelo:Math asúmense diferenciábeis con $g^{\prime }(x)\ne 0$. Finalmente temos que

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to c}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ é un límite finito ou infinito.

Tendo en conta o anterior, logo se

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$

ou

$\underset{x\to c}{\lim }|f(x)|=\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\mathrm{\infty },$

entón

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L.$

Aínda que escribimos Modelo:Math, os límites tamén poden ser límites por un lado (Modelo:Math ou Modelo:Math), cando Modelo:Math é un punto final finito do intervalo Modelo:Math.

No segundo caso, a hipótese de que Modelo:Math diverxe ao infinito non é necesaria; de feito, é suficiente que $\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\mathrm{\infty }.$

A hipótese de que $g^{\prime }(x)\ne 0$ aparece máis comúnmente na literatura, mais algúns autores eluden esta hipótese engadindo outras que tamén implican $g^{\prime }(x)\ne 0$. Por exemplo, pódese esixir na definición do límite $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to c}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ que a función $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ debe estar definida en todos os valores no intervalo $I\setminus \{c\}$.Modelo:Efn Outro método consiste en esixir que tanto Modelo:Math como Modelo:Math sexan diferenciábeis en tódalas partes nun intervalo que contén Modelo:Math.

Exemplos

Nos seguintes cálculos, indicamos cada aplicación da regra de L'Hopital co símbolo $\stackrel{\mathrm{H}}{=}$.

• Aquí temos un exemplo básico que inclúe a función exponencial, que implica a forma indeterminada Modelo:Sfrac en Modelo:Math:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x^2+x}\stackrel{\mathrm{H}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}(e^x-1)}{\frac{d}{dx}(x^2+x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2x+1}=1.$

• Este é un exemplo máis elaborado que inclúe Modelo:Sfrac. Aplicar a regra de L'Hôpital unha soa vez aínda dá como resultado unha forma indeterminada. Neste caso, o límite pódese avaliar aplicando a regra tres veces:

$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin (x)-\sin (2x)}{x-\sin (x)}& \stackrel{\mathrm{H}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos (x)-2\cos (2x)}{1-\cos (x)}\\ & \stackrel{\mathrm{H}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\sin (x)+4\sin (2x)}{\sin (x)}\\ & \stackrel{\mathrm{H}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\cos (x)+8\cos (2x)}{\cos (x)}=\frac{-2+8}{1}=6.\end{array}$

• Aquí temos un exemplo que inclúe Modelo:Sfrac:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n\cdot e^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^n}{e^x}\stackrel{\mathrm{H}}{=}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n{x}^{n-1}}{e^x}=n\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^{n-1}}{e^x}.$

Aplicando repetidamente a regra de L'Hôpital ata que o expoñente sexa cero (se Modelo:Mvar é un número enteiro) ou negativo (se Modelo:Mvar é unha fracción) para concluír que o límite é cero.

• Aquí temos un exemplo que inclúe a forma indeterminada Modelo:Math, que se reescribe como a forma Modelo:Sfrac:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\stackrel{\mathrm{H}}{=}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-x=0.$

• Aquí temos un exemplo que inclúe o fórmula do xuro composto e Modelo:Sfrac. Sexa Modelo:Math o principal (importe do préstamo), Modelo:Math o tipo de xuro por período e Modelo:Math o número de períodos. Cando Modelo:Math é cero, a cantidade de reembolso por período é $\frac{P}{n}$ (xa que só se paga o principal); isto é consistente coa fórmula para tipos de xuro distintos de cero: $$\underset{r\to 0}{\lim }\frac{Pr(1+r{)}^n}{(1+r{)}^n-1}\stackrel{\mathrm{H}}{=}P\underset{r\to 0}{\lim }\frac{(1+r{)}^n+rn(1+r{)}^{n-1}}{n(1+r{)}^{n-1}}=\frac{P}{n}.$$
• Tamén se pode usar a regra de L'Hôpital para demostrar o seguinte teorema. Se Modelo:Math é dúas veces diferenciábel nunha veciñanza de Modelo:Math e a súa segunda derivada é continua nesta veciñanza, entón

$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x-h)}{2h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{″}(x+h)+f^{″}(x-h)}{2}\\ & =f^{″}(x).\end{array}$

• Ás veces invócase a regra de L'Hôpital dun xeito complicado: supoñamos que $f(x)+f^{\prime }(x)$ converxe cando Modelo:Math e que $e^x\cdot f(x)$ converxe ao infinito positivo ou negativo. Daquela:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x\cdot f(x)}{e^x}\stackrel{\mathrm{H}}{=}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x(f(x)+f^{\prime }(x))}{e^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)+f^{\prime }(x)),$e así, existe $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ e $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{\prime }(x)=0.$

(Este resultado segue sendo certo sen a hipótese engadida de que $e^x\cdot f(x)$ converxe a un infinito positivo ou negativo, mais a xustificación é entón incompleta.)

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Derivada.
• Análise matemática.