Límite matemático

Nas matemáticas, o límite é un concepto que describe a tendencia dunha sucesión ou unha función, cando os parámetros desa sucesión ou función se acercan a determinado valor. No cálculo (especialmente en análise real e matemática) este concepto utilízase para definir a converxencia, continuidade, derivación, integración etc.

Límite dunha función

Parámetros utilizados na definición de límite.

Definición

Informalmente, dise que o límite da función f(x) é L cando x tende a p, e escríbese:

$\underset{x\to p}{\lim }f(x)=L$

se se pode encontrar para cada ocasión un x suficientemente próximo de p tal que o valor de f(x) sexa tan próximo a L como se desexe. Formalmente, utilizando termos lóxico-matemáticos:

$\begin{array}{c}\underset{x\to p}{\lim }f(x)=L⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:\\ \mathrm{\forall }x(0<|x-p|<\delta ⟶|f(x)-L|<ϵ)\end{array}$

Esta definición denomínase frecuentemente definición épsilon-delta de límite, e lese como segue:

Límites dunha función de dúas ou máis variables

Nas funcións de dúas ou máis variables a definición de límite é a mesma que en todas as funcións numéricas, mais nestas non sempre é fácil de calcular e moitas veces é mesmo difícil afirmar que exista ou non un límite. Unha función de dúas variables sería:

${ℝ}^2\to ℝ$ $(x,y)⟼f(x,y)=z$

A función de dúas variables ten dous graos de liberdade (nas funcións dunha variable só existe verdadeiramente un grao de liberdade que é a recta real, onde os valores poden ir cara a dereita, no sentido de maiores números reais, ou cara a esquerda, no sentido de menores números reais) por consecuencia é difícil achar o límite.

Ora, para que exista un valor de límite, é necesario que o independa do camiño tomado para que o(s) valor(es) da(s) variable(s) independentes sexan alcanzados. Iso pasa no caso unidimensional, cando os dous límites laterais coinciden. No caso contrario, o límite non existe.

De forma parecida, cando se ten unha función bidimensional como:

${ℝ}^2\to ℝ$ $(x,y)⟼f(x,y)=xy$

o límite pode comprobarse a través de varios camiños. Supoñamos que queremos verificar o límite L desta función cando tende a (0,0):

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=L$

---

Podemos aproximarnos ao valor (0,0) a través de varias posibilidades:

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,0)=L$

Neste caso, o límite L é cero

$\underset{y\to 0}{\lim }f(0,y)=L$

Neste caso, o límite L é tamén cero

---

Poderíase ficar enumerando todas as posibilidades, mais sería ocioso. No caso desta función, o límite neste punto é sempre cero.

Límite dunha sucesión

$a_n=\{\begin{array}{cc}16& \text{se }n=0\\ \frac{a_{n-1}}{2}& \text{se }n>0\end{array}$

A definición do límite matemático no caso dunha sucesión é moi semellante á definición do límite dunha función cando $x$ tende a $\mathrm{\infty }$. Dicimos que a sucesión $a_n$ tende até o seu límite $a$, ou que converxe ou é converxente (a $a$), o que denotamos como:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$

se podemos achar un número $N$ tal que todos os termos da sucesión tenden a $a$ cando $n$ crece ilimitadamente. Formalmente:

$a_n\to a\iff$ $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N>0:\mathrm{\forall }n\ge N,|a_n-a|<ϵ$

Propiedades dos límites

Os límites cumpren as seguintes propiedades xerais, que son usadas moitas veces para simplificar o cálculo dos mesmos.

• $\underset{x\to a}{\lim }x=a$
• Límite por escalar.

$\underset{x\to a}{\lim }kf(x)=k\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ onde k é un multiplicador escalar.

• Límite dunha suma.

$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x)$

• Límite dunha resta.

$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)-\underset{x\to a}{\lim }g(x)$

• Límite dunha multiplicación.

$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(x)$

• Límite dunha división.

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}\mathrm{s}\mathrm{i}\underset{x\to a}{\lim }g(x)\ne 0$

Indeterminacións

Hai límites que calculándoos directamente se obtén algunha das seguintes expresións:

Denomínanse indeterminacións a estas expresións, xa que non teñen solución coñecible. Nalgúns casos, simplificando as expresións iniciais ou obtendo expresións equivalentes ás iniciais pódese resolver a indeterminación e calcular o límite. Outros casos requiren do uso doutras ferramentas como poden ser desigualdades ou a regra de l'Hopital.

Un exemplo de indeterminación do tipo $\frac{0}{0}$ é o que se dá nestes tres casos:

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0}\underset{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}}{\overset{}{\to }}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}=\mathrm{\infty }$

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{t}=\frac{0}{0}\underset{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}}{\overset{}{\to }}\underset{t\to 0}{\lim }1=1$

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0}\underset{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}}{\overset{}{\to }}\underset{t\to 0}{\lim }t=0$

Véxase tamén

Outros artigos

• Regra de l'Hôpital

Ligazóns externas

• Límites de funcións. Introdución Modelo:Es
• Introdución do cálculo de límites (vídeo) Modelo:Es
• Mathwords: Limit Modelo:En