Grupo multiplicativo

En matemáticas e teoría de grupos, o termo grupo multiplicativo normalmente refírese ao seguinte concepto:

• o grupo baixo a multiplicación dos elementos invertíbeis dun corpo, anel ou outra estrutura para a que unha das súas operacións se denomina multiplicación. No caso dun corpo F, o grupo é Modelo:Nowrap, onde 0 refírese ao elemento cero de F e a operación binaria • é a multiplicación do corpo.

A notación usual para a operación dos elementos do grupo é $g\cdot h$ ou mesmo sen punto $gh$. O elemento neutro denótase como $1$ e o elemento inverso como $g^{-1}$.

Exemplos

• O grupo multiplicativo de números enteiros módulo n é o grupo baixo a multiplicación dos elementos invertíbeis de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Cando n non é primo, hai elementos distintos de cero que non son invertíbeis.
• O grupo multiplicativo de números reais positivos ${ℝ}^{+}$ é un grupo abeliano co 1 como o seu elemento identidade. O logaritmo é un isomorfismo de grupo deste grupo no grupo aditivo de números reais, $ℝ$.
• O grupo multiplicativo dun corpo $F$ é o conxunto de todos os elementos distintos de cero: $F^{\times }=F-\{0\}$, baixo a operación de multiplicación. Se $F$ é finito de orde q (por exemplo q = p un primo, e $F={𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ), entón o grupo multiplicativo é cíclico: $F^{\times }\cong C_{q-1}$, isomorfo ao grupo cíclico de orde do corpo menos un.

Véxase tamén

Bibliografía

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. Modelo:Isbn

Outros artigos

• Grupo (matemáticas).
• Corpo (álxebra).

Ligazóns externas

• Multiplicative Group (MathWorld

Modelo:Control de autoridades