Dominio de factorización única

En matemáticas, un dominio de factorización única (UFD en inglés) (tamén ás veces chamado anel factorial seguindo a terminoloxía de Bourbaki) é un anel no que se mantén un enunciado análogo ao teorema fundamental da aritmética. Específicamente, un UFD é un dominio de integridade (un anel conmutativo non trivial no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero) no que cada elemento non unitario distinto de cero pode escribirse como produto de elementos irredutíbeis, de forma única ata orde e unidades.

Exemplos importantes de UFD son os enteiros e os aneis polinómicos nunha ou máis variábeis con coeficientes procedentes dos números enteiros ou dun corpo.

Os dominios de factorización únicos aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:Modelo:Commutative ring classes

Definición

Formalmente, un dominio de factorización única defínese como un dominio de integridade R no que todo elemento x de R distinto de cero que non sexa unha unidade pode escribirse como un produto finito de elementos irredutíbeis p_i de R:

x = p₁ p₂ ⋅⋅⋅ p_n con Modelo:Nowrap

e esta representación é única no seguinte sentido: Se q₁, ... , q_m son elementos irredutíbeis de R tal que

x = q₁ q₂ ⋅⋅⋅ q_m con Modelo:Nowrap ,

entón Modelo:Nowrap, e existe un mapa bixectivo Modelo:Nowrap tal que p_i está asociado a q_φ(i) para Modelo:Nowrap.

Exemplos

A maioría dos aneis familiares das matemáticas elementais son UFD:

• Todos os dominios de ideais principais, polo tanto, todos os dominios euclidianos, son UFD. En particular, os enteiros (ver tamén Teorema Fundamental da aritmética), os Enteiros gaussianos e os Enteiros de Eisenstein son UFD.
• Se R é un UFD, entón tamén o é R[X], o anel de polinomios con coeficientes en R. A menos que R sexa un corpo, R[X] non é un dominio de ideais principais. Por indución, un anel polinómico en calquera número de variábeis sobre calquera UFD (e en particular sobre un corpo ou sobre os enteiros) é un UFD.
• O anel de serie de potencias formais Modelo:Nowrap sobre un corpo K é un UFD. Por outra banda, o anel de series formais de potencias sobre un UFD non precisa ser un UFD, aínda que o UFD sexa local. Por exemplo, se R é a localización de Modelo:Nowrap no ideal primo Modelo:Nowrap entón R é un anel local que é un UFD, pero o anel formal da serie de potencias RModelo:Corchetes sobre R non é un UFD.
• O Teorema de Auslander-Buchsbaum afirma que todo anel local regular é un UFD.
• $\mathbb{Z}\left[e^{\frac{2\pi i}{n}}\right]$ é UN UFD para todos os enteiros Modelo:Nowrap, pero non para Modelo:Nowrap.
• Mori demostrou que se a completude dun anel de Zariski como un anel local noetheriano é un UFD, entón o anel é un UFD.Modelo:Sfnp O contrario disto non é certo: hai aneis locais de Noether que son UFDs pero cuxas completudes non o son. A cuestión de cando isto ocorre é bastante sutil: por exemplo, para o localización de Modelo:Nowrap no ideal principal Modelo:Nowrap, tanto o anel local como a súa completude son UFD, mais no exemplo aparentemente similar da localización de Modelo:Nowrap no ideal principal Modelo:Nowrap o anel local é un UFD mais a súa completude non o é.
• O anel Modelo:Nowrap é un UFD, pero o anel en complexos Modelo:Nowrap non o é. Por outra banda, o anel Modelo:Nowrap non é un UFD, mais o anel en complexos Modelo:Nowrap si que o é.Modelo:Sfnp

Non exemplos

• O anel de enteiros cadráticos $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ de todos os números complexos da forma $a+b\sqrt{-5}$, onde a e b son números enteiros, non é un UFD porque o número 6 factoriza tanto en 2×3 como en $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$. Estas son factorizacións diferentes, porque as únicas unidades deste anel son 1 e − 1; así, ningún dos números 2, 3, $1+\sqrt{-5}$, e $1-\sqrt{-5}$ son asociados. Non é difícil demostrar que os catro factores tamén son irredutíbeis, aínda que isto non sexa obvio. Modelo:Sfnp Vexa tamén Enteiro alxébrico .
• Para un enteiro positivo libre de cadrados d, o anel de enteiros de $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$ non será un UFD a menos que d sexa un número de Heegner.
• O anel das series formais de potencias sobre os números complexos é un UFD, mais o subanel das que converxen en todas partes, é dicir, o anel de funcións enteiras nunha única variábel complexa, non é un UFD, xa que existen funcións enteiras cun número infinito de ceros, e polo tanto unha infinidade de factores irredutíbeis, mentres que unha factorización UFD debe ser finita, por exemplo:

  $\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2}).$

Propiedades

Algúns conceptos definidos para números enteiros pódense xeneralizar a UFD:

• Nos UFD, cada elemento irredutíbel é primo. (En calquera dominio de integridade, todo elemento primo é irredutíbel, pero a inversa non sempre se cumpre. Por exemplo, o elemento Modelo:Nowrap é irredutíbel, pero non primo).
• Dous elementos calquera dunha UFD teñen un máximo común divisor e un mínimo común múltiplo. Aquí, un máximo común divisor de a e b é un elemento d que divide tanto a como b, e tal que todos os outros divisores comúns de a e b dividen d. Todos os máximos comúns divisores de a e b son asociados.
• Calquera UFD son dominios de integridade pechados. Noutras palabras, se R é un UFD con corpo cociente K, e se un elemento k en K é unha raíz dun polinomio mónico con coeficientes en R, entón k é un elemento de R.
• Sexa S un subconxunto multiplicativamente pechado dun UFD A. Entón a localización S⁻¹A é un UFD.

Condicións equivalentes para que un anel sexa un UFD

Un dominio de integridade de Noether é un UFD se e só se todo ideal primo de altura 1 é principal. A maiores, un dominio de Dedekind é un UFD se e só se o seu grupo de clase de ideais é trivial. Neste caso, é de feito un dominio de ideais principais.

En xeral, para un dominio de integridade A, as seguintes condicións son equivalentes:

1. A é un UFD.
2. Todo ideal primo distinto de cero de A contén un elemento primo.Modelo:Refn
3. A satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais (ACCP), e a localización S⁻¹A é un UFD, onde S é un subconxunto multiplicativamente pechado de A xerado por elementos primos (criterio de Nagata).

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro Chap. 4.
• Modelo:Lang Algebra Chapter II.5
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita revista
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Factorización
• Dominio de ideais principais
• Ideal primo
• Anel conmutativo

Ligazóns externas

• Unique Factorization Domain (MathWorld)
• UFD is GCD Domain proofWiki