Desigualdade triangular

Triángulo.

En xeometría, a desigualdade triangular é o feito de que, nun triángulo, a lonxitude dun lado é menor que a suma das lonxitudes dos outros dous lados. Esta desigualdade é relativamente intuitiva. Na vida ordinaria, como na xeometría euclidiana, isto tradúcese no feito de que a liña recta é o camiño máis curto: o camiño máis curto do punto A ao punto B é ir recto alí, sen pasar por un terceiro punto C que non estea na recta.

Enunciados

En xeometría

Nun plano euclidiano, sexa un triángulo ABC. Entón, as lonxitudes AB, AC e BC satisfán as seguintes tres desigualdades:

• $AB⩽AC+CB$;
• $AC⩽AB+BC$;
• $BC⩽BA+AC$.

A conxunción destas tres desigualdades é equivalente á dupla desigualdade: $|AC-CB|⩽AB⩽AC+CB$.

A primeira destas últimas desigualdades reflicte que nun triángulo, a lonxitude dun lado é maior que a diferenza das lonxitudes dos outros dous.

O caso da igualdade na segunda desigualdade sería:

$AB=AC+CB\iff C\in [AB]$.Modelo:Pad

Para os números complexos

Usando unha representación complexa do plano euclidiano, podemos observar

• $x=\text{afixo de }\overrightarrow{AC}$
• $y=\text{afixo de }\overrightarrow{CB}$

Obtemos esta formulación equivalente.

Para $(x,y)\in {ℂ}^2$, temos :

• $|x+y|⩽|x|+|y|$;
• $|x+y|=|x|+|y|⟺\mathrm{\exists }(\lambda ,\mu )\in {ℝ}_{+}^2\setminus \{(0,0)\},\lambda y=\mu x$ .

Xeneralización a espazos prehilbertianos

Sexa $(E,⟨\cdot |\cdot ⟩)$ un espazo prehilbertiano real. Denotamos $\Vert \cdot \Vert$ como a norma asociada ao produto escalar. Para $(x,y)\in E^2$, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o seu caso de igualdade, entón demostramos a desigualdade de Minkowski:

• $\Vert x+y\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ ;
• $\Vert x+y\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert ⟺\mathrm{\exists }(\lambda ,\mu )\in {ℝ}_{+}^2\setminus \{(0,0)\},\lambda y=\mu x$ ( $x$ e $y$ relacionados positivamente).

(Todo espazo pre-hilbertiano complexo $(E,⟨\cdot |\cdot {⟩}^{\prime })$ é un espazo real pre-hilbertiano, para o produto escalar $⟨x|y⟩:=\mathrm{R}\mathrm{e}(⟨x|y{⟩}^{\prime })$, que induce a mesma norma que o produto hermitiano $⟨\cdot |\cdot {⟩}^{\prime }$.)

Punto de vista axiomático

Sexa Modelo:Math un conxunto e $d:E\times E\to {ℝ}^{+}$. Dicimos que Modelo:Math é unha distancia en Modelo:Math se:

• $\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,d(x,y)=d(y,x)$
• $\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,d(x,y)=0⟺x=y$
• $\mathrm{\forall }(x,y,z)\in E^3,d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$

A terceira propiedade require que para que $d$ sexa unha distancia debe verificar a desigualdade triangular. Xunto coa primeira, implica:

• $\mathrm{\forall }(x,y,z)\in E^3,|d(x,z)-d(y,z)|⩽d(x,y)$

e máis xeralmente, para calquera parte Modelo:Math non baleira de Modelo:Math, $|d(x,A)-d(y,A)|⩽d(x,y)$ (ver " Distancia").

Reciprocamente, $|d(x,z)-d(y,z)|⩽d(x,y)⟹d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ .

Todo espazo vectorial normado $(E,\Vert \Vert )$, especialmente $(ℂ,||)$, está naturalmente provisto dunha distancia $d$, definido por $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$, para o que o incremento $|d(x,0)-d(y,0)|⩽d(x,y)$ reescríbese:

• $|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |⩽\Vert x-y\Vert$ .

Desigualdade triangular xeneralizada

Podemos iterar a desigualdade triangular para un número finito de elementos.

En xeometría, isto dá :

$A_1{A}_n⩽A_1{A}_2+\cdots A_{n-1}{A}_n$, sendo o caso de igualdade para $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ na mesma recta nesta orde.

Para complexos, isto dá :

$|z_1+z_2+\cdots +z_n|⩽|z_1|+|z_2|+\cdots +|z_n|$ , sendo o caso de igualdade se $z_1\ne 0$: $z_k/z_1$ é un real estritamente positivo para $k=1\cdots n$.

Para un espazo vectorial normado:

$\Vert x_1+x_2+\cdots +x_n\Vert ⩽\Vert x_1\Vert +\Vert x_2\Vert +\cdots +\Vert x_n\Vert$ .

Sendo o caso de igualdade no caso prehilbertiano: Os $x_k$ vinculados positivamente de dous en dous.

Desigualdade triangular para integrais

Se $f$ é unha función integrábel no sentido de Riemann (en particular se é continua por intervalos) nun intervalo $[a,b],a<b$, con valores nun espazo vectorial estandarizado, entón:

$\Vert \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\Vert ⩽\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert f(x)\Vert dx$

Sendo o caso de igualdade se $f$ é continua con valores complexos: hai unha constante $k$ de módulo 1 tal que $f=k|f|$ en $[a,b]$.

No caso real, isto é equivalente a que $f$ sexa de signo constante en $[a,b]$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Orde total.

Modelo:Control de autoridades