Join e meet

Este diagrama de Hasse representa un conxunto parcialmente ordenado con catro elementos: a, b, o elemento máximal a $\vee$ b igual ao join de a e b, e o elemento mínimal a $\wedge$ b igual ao meet de a e b. O join/meet dun elemento maximal/minimal e outro elemento é o elemento maximal/minimal e, reciprocamente, o meet/join dun elemento maximal/minimal con outro elemento é o outro elemento. Así, cada parella deste poset ten tanto un meet como un join e o poset pódese clasificar como unha retícula.

En matemáticas, concretamente na teoría da orde, o join dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $P$ é o supremo (límite superior mínimo) de $S,$ denotado $\bigvee S,$ e do mesmo xeito, o meet de $S$ é o infimo (maior límite inferior), denotado $\bigwedge S.$ En xeral, o join e o meet dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado poden non existir. Join e meet son duais entre si en relación á inversión de orde.

O join/meet dun subconxunto dun conxunto totalmente ordenado é simplemente o elemento maximal/minimal dese subconxunto, se tal elemento existe.

Definicións

Sexa $A$ un conxunto cunha orde parcial $\le ,$ e sexan $x,y\in A.$ Un elemento $m$ de $A$ chámase o Modelo:Visible anchor (ou Modelo:Visible anchor ou Modelo:Visible anchor) de $x\text{ e }y$ e denótase por $x\wedge y,$ se se cumpren as dúas condicións seguintes:

1. $m\le x\text{ e }m\le y$ (é dicir, $m$ é un límite inferior de $x\text{ and }y$ ).
2. Para calquera $w\in A,$ se $w\le x\text{ and }w\le y,$ entón $w\le m$ (é dicir, $m$ é maior ou igual a calquera outro límite inferior de $x\text{ and }y$ ).

O meet non ten por que existir, xa sexa porque o par non ten límite inferior en absoluto, ou porque ningún dos límites inferiores é maior que todos os demais. No entanto, se hai un meet de $x\text{ e }y,$ entón é único, xa que se ambos os $m\text{ e }{m}^{\prime }$ son límites inferiores maiores de $x\text{ e }y,$ entón $m\le m^{\prime }\text{ e }{m}^{\prime }\le m,$ e así $m=m^{\prime }.$ Se non todos os pares de elementos de $A$ teñen un meet, entón o meet aínda pode verse como unha operación binaria parcial en $A.$

Se o meet existe, denótase $x\wedge y.$ Se todos os pares de elementos de $A$ teñen un meet, entón o meet é unha operación binaria en $A,$ e é fácil ver que esta operación cumpre as tres condicións seguintes: Para calquera elementos $x,y,z\in A,$

1. $x\wedge y=y\wedge x$ (conmutatividade),
2. $x\wedge (y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z$ (asociatividade), e
3. $x\wedge x=x$ (idempotencia).

Os join defínense dualmente como join de $x\text{ e }y,$ se existe, denótase por $x\vee y.$ Un elemento $j$ de $A$ é o Modelo:Visible anchor (ou Modelo:Visible anchor ou Modelo:Visible anchor) de $x\text{ e }y$ en $A$ se se cumpren as dúas condicións seguintes:

1. $x\le j\text{ e }y\le j$ (é dicir, $j$ é un límite superior de $x\text{ e }y$).
2. Para calquera $w\in A,$ se $x\le w\text{ e }y\le w,$ entón $j\le w$ (é dicir, $j$ é menor ou igual a calquera outro límite superior de $x\text{ e }y$ ).

Exemplos

Se algún conxunto de partes $\mathrm{\wp }(X)$ está parcialmente ordenado da forma habitual (por $\subseteq$ ) entón os joins son unións e os joins son interseccións; en símbolos, $\vee =\cup \text{ e }\wedge =\cap$ (onde a semellanza destes símbolos pode usarse como regra mnemotécnica).

Máis xeral sería o seguinte. Subpoña $ℱ\ne \varnothing$ é unha familia de subconxuntos dun conxunto $X$ que é un conxunto parcialmente ordenado por $\subseteq .$ Se $ℱ$ é pechado baixo unións arbitrarias e interseccións arbitrarias e se $A,B,{\left(F_i\right)}_{i\in I}$ pertencen a $ℱ$ daquela $$A\vee B=A\cup B,A\wedge B=A\cap B,\underset{i\in I}{\bigvee }{F}_i=\bigcup _{i\in I}{F}_i,\text{ e }\underset{i\in I}{\bigwedge }{F}_i=\bigcap _{i\in I}{F}_i.$$

Mais se $ℱ$ non é pechado baixo unións daquela $A\vee B$ existe en $(ℱ,\subseteq )$ se e só se existe un único $\subseteq$-máis-pequeno $J\in ℱ$ tal que $A\cup B\subseteq J.$

Por exemplo, se $ℱ=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},ℝ\}$ entón $\{1\}\vee \{2\}=\{1,2,3\}$ mentres que se $ℱ=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},ℝ\}$ entón $\{1\}\vee \{2\}$ non existe porque os conxuntos $\{0,1,2\}\text{ e }\{1,2,3\}$ son límites superiores de $\{1\}\text{ e }\{2\}$ en $(ℱ,\subseteq )$ que poderían ser posíbelmente o Modelo:Em límite superior $\{1\}\vee \{2\}$ mais $\{0,1,2\}\subseteq ̸\{1,2,3\}$ e $\{1,2,3\}\subseteq ̸\{0,1,2\}.$

Se $ℱ=\{\{1\},\{2\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}\}$ entón $\{1\}\vee \{2\}$ non existe porque non existe un límite superior de $\{1\}\text{ e }\{2\}$ en $(ℱ,\subseteq ).$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Orde parcial.

Modelo:Control de autoridades