Hiperoperación

En matemáticas, a secuencia de hiperoperacións é unha secuencia infinita de operacións aritméticas (chamadas hiperoperacións neste contexto) que comeza cunha operación unitaria (a función sucesora con n = 0). A secuencia continúa coas operacións binarias de suma ( n = 1), multiplicación ( n = 2) e potenciación ( n = 3).

Despois diso, a secuencia continúa con operacións binarias que se estenden máis aló da potenciación, tendo en conta que non son asociativas (por exemplo, a tetración que procede da potenciación $^{3} 3 = 3^{(3^{3})} = 3^{9} \neq 9^{3} = (3^{3})^{3}$ ). Para as operacións máis aló da potenciación, o membro n -ésimo desta secuencia é nomeado por Reuben Goodstein despois do prefixo grego de n sufixado con -ación (como tetración ( n = 4), pentación ( n = 5), hexación ( n = 6). ), etc.) Modelo:Sfn e pódese escribir usando n − 2 frechas na notación de frecha cara arriba de Knuth . Cada hiperoperación pódese entender recursivamente en función da anterior por:

a [n] b = \underset{b copies of a}{\underset{⏟}{a [n - 1] (a [n - 1] (a [n - 1] (\dots [n - 1] (a [n - 1] (a [n - 1] a)) \dots)))}}, n \geq 2

Tamén se pode definir segundo unha regra recursiva parte da definición, como aparece na versión de Knuth con frecha cara arriba da función de Ackermann :

a [n] b = a [n - 1] (a [n] (b - 1)), n \geq 1

Isto pódese empregar para mostrar facilmente números moito máis grandes que os que pode facer mediante a notación científica, como o número de Skewes e o googolplexplex (p. ex. $50 [50] 50$ é moito maior que o número de Skewes e o googolplex), pero hai algúns números que nin as hiperoperación pódenos mostrar facilmente, como o número de Graham e TREE(3) . Modelo:Sfn

Esta regra de recursión é común a moitas variantes das hiperoperacións.

Definición

Definición (a máis común)

A Secuencia de hiperoperación $H_{n} (a, b) : (ℕ_{0})^{3} \to ℕ_{0}$ é a secuencia de operacións binarias $H_{n} : (ℕ_{0})^{2} \to ℕ_{0}$ , definido recursivamente como segue:

H_{n} (a, b) = a [n] b = {\begin{matrix} b + 1 & se n = 0 \\ a & se n = 1 e b = 0 \\ 0 & se n = 2 e b = 0 \\ 1 & se n \geq 3 e b = 0 \\ H_{n - 1} (a, H_{n} (a, b - 1)) & senón \end{matrix}

(Teña en conta que para n = 0, a operación binaria redúcese esencialmente a unha operación unitaria ( función sucesora ) ignorando o primeiro argumento.)

Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce as operacións aritméticas básicas da sucesión (que é unha operación unitaria), suma, multiplicación e exponenciación, respectivamente, como

\begin{matrix} H_{0} (a, b) & = 1 + b, \\ H_{1} (a, b) & = a + b, \\ H_{2} (a, b) & = a \times b, \\ H_{3} (a, b) & = a ↑ b = a^{b} . \end{matrix}

As $H_{n}$ operacións para n ≥ 3 pódense escribir na notación de frecha cara arriba de Knuth .

Entón, cal será a seguinte operación despois da exponenciación? Definimos a multiplicación para que $H_{2} (a, 3) = a [2] 3 = a \times 3 = a + a + a,$ e definiuse a potenciación para que $H_{3} (a, 3) = a [3] 3 = a ↑ 3 = a^{3} = a \times a \times a,$ polo que parece lóxico definir a seguinte operación, a tetración, para que $H_{4} (a, 3) = a [4] 3 = a ↑ ↑ 3 = tetración (a, 3) = a^{a^{a}}$ cunha torre de tres 'a'. De xeito análogo, a pentación de (a, 3) será tetración(a, tetración(a, a)), con tres "a" nela.

\begin{matrix} H_{4} (a, b) & = a ↑ ↑ b, \\ H_{5} (a, b) & = a ↑ ↑ ↑ b, \\ \dots \\ H_{n} (a, b) & = a ↑^{n - 2} b para n \geq 3, \\ \dots \end{matrix}

A notación de Knuth podería estenderse a índices negativos ≥ −2 de tal xeito que concorde con toda a secuencia de hiperoperacións, excepto para o atraso na indexación:

H_{n} (a, b) = a ↑^{n - 2} b para n \geq 0 .

Así, as hiperoperacións pódense ver como unha resposta á pregunta "que segue" na secuencia : sucesor, suma, multiplicación, potenciación, etc. Observando iso

\begin{matrix} a + b & = 1 + (a + (b - 1)) \\ a \cdot b & = a + (a \cdot (b - 1)) \\ a^{b} & = a \cdot (a^{(b - 1)}) \\ a [4] b & = a^{a [4] (b - 1)} \end{matrix}

a relación entre as operacións aritméticas básicas está ilustrada, permitindo que as operacións superiores se definan de forma natural como se realizou anteriormente. Os parámetros da xerarquía de hiperoperación son ás veces referidos polo seu termo de exponenciación análogo; Modelo:Sfn polo que a é a base, b é o expoñente (ou hiperexpoñente ), Modelo:Sfn e n é o rango (ou grao ), Modelo:Sfn e ademais, $H_{n} (a, b)$ léase como "a b- ésimo n -ación de a ", p. ex $H_{4} (7, 9)$ lese como "a novena tetración de 7", e $H_{123} (456, 789)$ lese como "a 789a 123-ación de 456".

En termos comúns, as hiperoperacións son formas de combinar números que aumentan o crecemento en función da iteración da hiperoperación anterior. Os conceptos de sucesor, suma, multiplicación e potenciación son hiperoperacións; a operación sucesora (producindo x + 1 a partir de x ) é a máis primitiva, o operador de suma especifica o número de veces que 1 se debe engadir a si mesmo para producir un valor final, a multiplicación especifica o número de veces que se lle debe engadir un número a si mesmo, e a exponenciación refírese ao número de veces que se debe multiplicar un número por si mesmo.

Definición, mediante iteración

Defínese a iteración dunha función Modelo:Math de dúas variables como

f^{x} (a, b) = {\begin{matrix} f (a, b) & if x = 1 \\ f (a, f^{x - 1} (a, b)) & if x > 1 \end{matrix}

A secuencia de hiperoperación pódese definir en termos de iteración, como segue. Para todos os números enteiros $x, n, a, b \geq 0,$ definir

\begin{matrix} H_{0} (a, b) & = & b + 1 \\ H_{1} (a, 0) & = & a \\ H_{2} (a, 0) & = & 0 \\ H_{n + 3} (a, 0) & = & 1 \\ H_{n + 1} (a, b + 1) & = & H_{n}^{b + 1} (a, H_{n + 1} (a, 0)) \\ H_{n}^{x + 2} (a, b) & = & H_{n} (a, H_{n}^{x + 1} (a, b)) \end{matrix}

Como a iteración é asociativa, a última liña pódese substituír por

\begin{matrix} H_{n}^{x + 2} (a, b) & = & H_{n}^{x + 1} (a, H_{n} (a, b)) \end{matrix}

Exemplos

A continuación móstrase unha lista das sete primeiras hiperoperacións (da 0 á 6) ( ou 0⁰ defínese como 1).

n	Operación, H_n(a, b)	Definición	Nomes	Dominio
0	$1 + b$ ou $a [0] b$	$1 + \underset{b copias de 1}{\underset{⏟}{1 + 1 + 1 + \dots + 1 + 1 + 1}}$	Incremento, succesor, hyper0	Arbitrario
1	$a + b$ ou $a [1] b$	$a + \underset{b copias de 1}{\underset{⏟}{1 + 1 + 1 + \dots + 1 + 1 + 1}}$	Adicion, hyper1
2	$a \times b$ ou $a [2] b$	$\underset{b copias de a}{\underset{⏟}{a + a + a + \dots + a + a + a}}$	Multiplicación, hyper2
3	$a^{b}$ ou $a [3] b$	$\underset{b copias de a}{\underset{⏟}{a \times a \times a \times \dots \times a \times a \times a}}$	Potentiation, hyper3	b real, con algunas extensiones a determinados números complexos
4	$b a$ ou $a [4] b$	$\underset{b copias de a}{\underset{⏟}{a [3] (a [3] (a [3] (\dots [3] (a [3] (a [3] a)) \dots)))}}$	Tetración, hyper4	a ≥ 0 ou enteiro, b un enteiro ≥ −1 (con algunhas propostas de extensión)
5	$_{b} a$ ou $a [5] b$	$\underset{b copias de a}{\underset{⏟}{a [4] (a [4] (a [4] (\dots [4] (a [4] (a [4] a)) \dots)))}}$	Pentación, hyper5	a, b enteiros ≥ −1
6	$a [6] b$	$\underset{b copias de a}{\underset{⏟}{a [5] (a [5] (a [5] (\dots [5] (a [5] (a [5] a)) \dots)))}}$	Hexación, hyper6	a, b enteiros ≥ −1

Casos especiais

H _n (0, b ) =

b + 1, cando n = 0

b, cando n = 1

0, cando n = 2

1, cando n = 3 e b = 0 ^{[nb 1]}

0, cando n = 3 e b > 0 ^{[nb 1]}

1, cando n > 3 e b é par (incluíndo 0)

0, cando n > 3 e b é impar

H _n (1, b ) =

b, cando n = 2

1, cando n ≥ 3

H _n ( a, 1) =

0, cando n = 2

1, cando n = 0, ou n ≥ 3

a, cando n = 1

H _n ( a, a ) =

a, cando n ≥ 2

H _n ( a, a ) =

H _n+1 ( a, 2), cando n ≥ 1

H _n ( a, −1) =

0, cando n = 0, ou n ≥ 4

a - 1, cando n = 1

− a, cando n = 2

\frac{1}{a}

, cando n = 3

H _n (2, 2) =

3, cando n = 0

4, cando n ≥ 1, facilmente demostrable recursivamente.

Notacións

Esta é unha lista de notacións que se utilizaron para hiperoperacións.

Nome	Notación equivalente a $H_{n} (a, b)$	Comentario
Notación de frecha cara arriba de Knuth	$a ↑^{n - 2} b$	Empregada por Knuth Modelo:Sfn (para n ≥ 3), e aparece en moitos libros de referencia.Modelo:Sfn Modelo:Sfn
Notación de Hilbert	$ϕ_{n} (a, b)$	Empregada por David Hilbert.Modelo:Sfn
Notación de Goodstein	$G (n, a, b)$	Empregada por Reuben Goodstein.Modelo:Sfn
A orixinal da Función de Ackermann	$\begin{matrix} ϕ (a, b, n - 1) para 1 \leq n \leq 3 \\ ϕ (a, b - 1, n - 1) para n \geq 4 \end{matrix}$	Empregada por Wilhelm Ackermann (para n ≥ 1)Modelo:Sfn
Función de Ackermann–Péter	$A (n, b - 3) + 3 para a = 2$	Para as hiperoperación de base a = 2
Notación de Nambiar	$a \otimes^{n - 1} b$	Empregada por Nambiar (para n ≥ 1) Modelo:Sfn
Notación Superscript	$a^{(n)} b$	Empregada porRobert Munafo.Modelo:Sfn
Notación de corchetes	$a [n] b$	Empregada por foros online; conveniente para ASCII.
Notación de frechas en cadena de Conway	$a \to b \to (n - 2)$	Empregada por John Horton Conway (para n ≥ 3)

Notas

Modelo:Reflist Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Pentación.

Modelo:Control de autoridades
Erro na cita: As etiquetas <ref> existen para un grupo chamado "nb", pero non se atopou a etiqueta <references group="nb"/> correspondente

[nb 1]

Hiperoperación

Índice

Definición

Definición (a máis común)

Definición, mediante iteración

Exemplos

Casos especiais

Notacións

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Menú de navegación

Hiperoperación

Definición

Definición (a máis común)

Definición, mediante iteración

Exemplos

Casos especiais

Notacións

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Menú de navegación

Procura