Complexo conxugado

Representación xeométrica (diagrama de Argand) de $z$ e o seu conxugado $\bar{z}$ no plano complexo. O complexo conxugado atópase reflectindo $z$ a través do eixo real.

En matemáticas, o complexo conxugado dun número complexo é o número cunha parte real igual e unha parte imaxinaria igual en magnitude mais oposto en signo. É dicir, se $a$ e $b$ son números reais entón o complexo conxugado de $a+bi$ é $a-bi.$ O complexo conxugado de $z$ adoita denotarse como $\bar{z}$ ou $z^{*}$.

En forma polar, se $r$ e $\phi$ son números reais daquela o conxugado de $r{e}^{i\phi }$ é $r{e}^{-i\phi }.$ Isto pódese mostrar usando a fórmula de Euler.

O produto dun número complexo e o seu conxugado é un número real: $a^2+b^2$ (ou $r^2$ en coordenadas polares).

Se unha raíz dun polinomio univariado con coeficientes reais é complexa, daquela o súa conxugada complexa tamén é unha raíz.

Propiedades

Para dous números complexos calquera, a conxugación é distributiva sobre a suma, resta, multiplicación e división:

$\begin{array}{cc}\overline{z+w}& =\bar{z}+\bar{w},\\ \overline{z-w}& =\bar{z}-\bar{w},\\ \overline{zw}& =\bar{z}\bar{w},\text{and}\\ \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}& =\frac{\bar{z}}{\bar{w}},\text{if }w\ne 0.\end{array}$

Un número complexo é igual ao seu complexo conxugado se a súa parte imaxinaria é cero, é dicir, se o número é real. Noutras palabras, os números reais son os únicos puntos fixos de conxugación.

A conxugación non muda o módulo dun número complexo: $\left|\bar{z}\right|=|z|.$

A conxugación é unha involución, é dicir, o conxugado do conxugado dun número complexo $z$ é $z.$ En símbolos,

$\overline{\stackrel{‾}{z}}=z.$

O produto dun número complexo co seu conxugado é igual ao cadrado do módulo do número:

$z\bar{z}={\left|z\right|}^2.$

Isto permite o cálculo doado do inverso multiplicativo dun número complexo dado en coordenadas rectangulares:

$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2},\text{ para todo }z\ne 0.$

A conxugación é conmutativa baixo composición con exponenciación a potencias enteiras, coa función exponencial e co logaritmo natural para argumentos distintos de cero:

$\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n,\text{ para todos os }n\in \mathbb{Z}$

$\exp \left(\bar{z}\right)=\overline{\exp (z)}$

$\ln \left(\bar{z}\right)=\overline{\ln (z)}\text{ se }z\text{ é distinto de cero e real negativo }$

Se $p$ é un polinomio con coeficientes reais e $p(z)=0,$ entón $p\left(\bar{z}\right)=0$ tamén o sería. Así, as raíces non reais de polinomios reais ocorren en pares conxugados complexos (ver Teorema da raíz conxugada complexa).

En xeral, se $\phi$ é unha función holomorfa cuxa restrición aos números reais ten valores reais, e $\phi (z)$ e $\phi (\bar{z})$ están definidos, daquela

$\phi \left(\bar{z}\right)=\overline{\phi (z)}.$

Usar como variábel

Unha vez dado un número complexo $z=x+yi$ ou $z=r{e}^{i\theta }$, o seu conxugado é suficiente para reproducir as partes da variábel Modelo:Mvar:

• Parte real: $x=\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$
• Parte imaxinaria: $y=\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$
• Módulo (ou valor absoluto) : $r=\left|z\right|=\sqrt{z\bar{z}}$
• Argumento : $e^{i\theta }=e^{i\arg z}=\sqrt{\frac{z}{\bar{z}}},$ por tanto $\theta =\arg z=\frac{1}{i}\ln \sqrt{\frac{z}{\bar{z}}}=\frac{\ln z-\ln \bar{z}}{2i}$

Conxugado dun hipercomplexo

A noción de número conxugado pódese estender a números hipercomplexos. Por exemplo, para un hipercomplexo (cuaternión ) temos:Modelo:EcuaciónPódese ver que a operación unitaria de conxugación hipercomplexa é o único automorfismo que deixinvariante a o subconxunto dos números reais diferenteade identidade. As mesmas propiedades que scumprenapara n á conxugación de números complexos cúmprense para a conxugación de números hipercomplexos.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número complexo.
• Plano complexo.
• Fórmula de Euler

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld

Modelo:Control de autoridades