Elemento primo

En matemáticas, especificamente en álxebra abstracta, un elemento primo dun anel conmutativo é un obxecto que satisfai certas propiedades similares aos números primos dos enteiros e aos polinomios irredutíbeis. Débese ter coidado de distinguir os elementos primos dos elementos irreducíbeis, un concepto que é o mesmo nos UFD mas non o mesmo en xeral.

Definición

Un elemento Modelo:Mvar dun anel conmutativo Modelo:Mvar dise que é primo se non é o elemento cero ou unha unidade e sempre que Modelo:Mvar divide Modelo:Mvar para algúns Modelo:Mvar e Modelo:Mvar en Modelo:Mvar, entón Modelo:Mvar divide Modelo:Mvar ou Modelo:Mvar divide Modelo:Mvar. Con esta definición, o lema de Euclides é a afirmación de que os números primos son elementos primos no anel de enteiros. De forma equivalente, un elemento Modelo:Mvar é primo se, e só se, o ideal principal Modelo:Math xerado por Modelo:Mvar é un ideal primo distinto de cero. (Teña en conta que nun dominio de integridade, o ideal Modelo:Math é un ideal primo, mais Modelo:Math é unha excepción na definición de "elemento primo".)

Ser primo está relacionado con en que anel se considera que está un elemento. Por exemplo, 2 é un elemento primo en Modelo:Math mais non está en Modelo:Math, o anel dos enteiros gaussianos, xa que Modelo:Math e 2 non divide ningún factor no lado dereito da igualdade.

Conexión cos ideais primos

Un ideal Modelo:Math no anel Modelo:Math (con unidade) é un primo se o anel factor Modelo:Math é un dominio de integridade.

Nun dominio de integridade, un ideal principal distinto de cero é primo se e só se é xerado por un elemento primo.

Un elemento Modelo:Mvar nun anel Modelo:Math é un elemento primo se xera un ideal primo. Se Modelo:Math é conmutativo, isto equivale a dicir que para todos os $a,b\in R$, se Modelo:Mvar divide a Modelo:Mvar, daquela Modelo:Mvar divide Modelo:Mvar ou Modelo:Mvar divide Modelo:Mvar.

Elementos irreducíbeis

Modelo:Ap Os elementos primos non deben confundirse cos elementos irreducíbeis. Nun dominio de integridade, todo primo é irreducíbel mais o recíproco non é certo en xeral. No entanto, en dominios de factorización única, ou máis xeralmente en dominios GCD, os primos e os irreducíbeis son iguais.

Exemplos

Os seguintes son exemplos de elementos primos en aneis:

• Os enteiros Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math, ... no anel de enteiros Modelo:Math
• os números complexos Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math no anel de enteiros gaussianos Modelo:Math
• os polinomios Modelo:Math e Modelo:Math en Modelo:Math, o anel de polinomios sobre Modelo:Math .
• 2 no anel cociente Modelo:Math
• Modelo:Math é primo mais non irreducíbel no anel Modelo:Math
• No anel Modelo:Math de pares de enteiros, Modelo:Math é primo mais non irreducíbel (temos Modelo:Math ).
• No anel dos enteiros alxébricos $𝐙[\sqrt{-5}],$ o elemento Modelo:Math é irreducíbel mais non primo (pois 3 divide $9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$ e 3 non divide ningún factor do lado dereito da igualdade).

Véxase tamén

Bibliografía

• Section III.3 of Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Ideal primo.
• Anel (álxebra).

Ligazóns externas

• Prime element MathWorld.
• Prime element PlanetMath.