Corchete de Iverson

En matemáticas, o corchete de Iverson, que recibe o nome de Kenneth Iverson, é unha notación que devolve o número 1 se unha condición é verdadeira e 0 en caso contrario. Máis precisamente,

$[P]=\{\begin{array}{cc}1& \text{se }P\text{ é verdade,}\\ 0& \text{se non,}\end{array}$

onde Modelo:Math é unha proposición que pode ser verdadeira ou falsa.Modelo:,

Uso

A notación é útil para expresións de sumas ou integrais sen condicións de contorno. Por exemplo

$\sum _{1\le i\le 10}{i}^2=\sum _i{i}^2[1\le i\le 10].$

Na primeira suma, o contador $i$ está limitado ao rango de 1 a 10. Na segunda suma, pode pasar por todos os números enteiros, mais cando é estritamente menor que 1 ou estritamente maior que 10, o termo correspondente da suma é cero, polo que non inflúe no total. Este uso de corchetes pode facilitar o manexo destas expresións.

Outro uso do corchete de Iverson é simplificar ecuacións con condicións especiais. Por exemplo, a fórmula

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}k=\frac{1}{2}n\phi (n)$

(unha relación da teoría de números relacionada coa función totiente de Euler) que só se verifica para $n>1$ pódese escribir:

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}k=\frac{1}{2}n(\phi (n)+[n=1])$

que é válida para calquera número natural $n$.

Casos particulares

O símbolo de Kronecker é un caso particular da notación de Iverson cando a condición é unha igualdade. Temos:

${\delta }_{ij}=[i=j].$

A función indicadora, outro caso particular, cando a condición é unha pertenza:

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=[x\in A].$

A función signo e a función paso de Heaviside tamén se poden expresar facilmente mediante esta notación:

$\mathrm{sgn}(x)=[x>0]-[x<0]$

$H(x)=[x>0]+\frac{1}{2}[x=0].$

As funcións chan e teito pódense expresar mediante:

$\lfloor x\rfloor =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}n[n\le x<n+1],$

$\lceil x\rceil =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}n[n-1<x\le n].$

E a tricotomía dunha orde total pódese expresar por :

$[a<b]+[a=b]+[a>b]=1.$

Véxase tamén

Outros artigos

Función indicadora.