Función de Dirichlet

En matemática, a función de Dirichlet, chamada así en honra ao matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é unha función matemática especial, que ten a peculiaridade de non ser continua en ningún punto do seu dominio.

Indica os números racionais como subconxunto dos reais.

Definición

Se c,d $\in ℝ$, c $\ne$ d, defínese a función de Dirichlet como:

$D(x)=\{\begin{array}{cc}c,& \text{se }x\in \mathbb{Q}\\ d,& \text{se }x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

Usualmente tómanse os valores de $c=1$ e $d=0$.

Propiedades

• Para $c=1$ e $d=0$, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.

• A función de Dirichlet é descontinua en todo punto do seu dominio.

• Analiticamente, a función de Dirichlet pódese representar como o límite dobre dunha sucesión de funcións: .$D(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\cos (k!\pi x{)}^{2j})\right)$
• A función de Dirichlet é periódica, xa que $D(x+q)=D(x)\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q}$ .Esta función, por tanto, é un exemplo dunha función periódica non constante cuxo conxunto de períodos é denso en $ℝ$ (os racionais).

Véxase tamén

Outros artigos

• Función de Thomae, variación da función de Dirichlet continua nos irracionais e descontinua nos racionais.

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• The Modified Dirichlet Function por George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.