Función gamma inversa

</img>

Gráfica dunha función gamma inversa

</img>

Gráfica da función gamma inversa no plano complexo

En matemáticas, a función gamma inversa

${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$

é a función inversa da función gamma. Noutras palabras,

$y={\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$

sempre que

$\mathrm{\Gamma }(y)=x$

. Por exemplo,

${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(24)=5$

. A función gamma inversa refírese normalmente á rama principal con dominio no intervalo real

$[\beta ,+\mathrm{\infty })$

e imaxe sobre o intervalo real

$[\alpha ,+\mathrm{\infty })$

, onde

$\beta =0.8856031\dots$

é o valor mínimo da función gamma no eixe real positivo e

$\alpha ={\mathrm{\Gamma }}^{-1}(\beta )=1.4616321\dots$

é a localización dese mínimo.

Definición

Podemos definir a función gamma inversa coa seguinte representación integral$${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)=a+bx+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }}(\frac{1}{x-t}-\frac{t}{t^2-1})d\mu (t),$$onde $\mu (t)$ é unha medida de Borel tal que$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }}\left(\frac{1}{t^2+1}\right)d\mu (t)<\mathrm{\infty },$$e $a$ e $b$ son números reais con $b\geqq 0$.

Aproximación

Para calcular as ramas da función gamma inversa pódese calcular primeiro a serie de Taylor de $\mathrm{\Gamma }(x)$ preto de $\alpha$. A serie pode logo ser truncada e invertida, o que produce sucesivamente mellores aproximacións ${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$. Por exemplo, temos a aproximación cadrática: $${\mathrm{\Gamma }}^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +\sqrt{\frac{2(x-\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right))}{\mathrm{\Psi }(1,\alpha )\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}}.$$Tamén temos para a función gamma inversa a seguinte fórmula asintótica $${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)\sim \frac{1}{2}+\frac{\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\right)}{W_0(e^{-1}\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\right))},$$onde $W_0(x)$ é a función W de Lambert. Esta fórmula conséguese invertendo a aproximación de Stirling, polo que tamén se pode expandir nunha serie asintótica.

Expansión en serie

Para obter unha expansión en serie da función gamma inversa pódese calcular primeiro a expansión en serie da función gamma recíproca $\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}$ preto dos polos nos enteiros negativos, e despois inverter a serie.

Pondo $z=\frac{1}{x}$ temos, para a rama n ${\mathrm{\Gamma }}_n^{-1}(z)$ da función gamma inversa ($n\ge 0$)$${\mathrm{\Gamma }}_n^{-1}(z)=-n+\frac{{(-1)}^n}{n!z}+\frac{{\psi }^{(0)}(n+1)}{{(n!z)}^2}+\frac{{(-1)}^n({\pi }^2+9{\psi }^{(0)}{(n+1)}^2-3{\psi }^{(1)}(n+1))}{6{(n!z)}^3}+O\left(\frac{1}{z^4}\right),$$onde ${\psi }^{(n)}(x)$ é a función poligamma.

Véxase tamén

Outros artigos

• Función gamma.