Relación reflexiva

En matemáticas, unha relación binaria $R$ nun conxunto $X$ é reflexiva se relaciona cada elemento de $X$ consigo mesmo. Modelo:Sfn Modelo:Sfn

Un exemplo de relación reflexiva é a relación "é igual a" no conxunto de números reais, xa que cada número real é igual a si mesmo. Xunto coa simetría e a transitividade, a reflexividade é unha das tres propiedades que definen as relacións de equivalencia.

Definición

Modelo:Stack Sexa $R$ unha relación binaria nun conxunto $X,$ que por definición é só un subconxunto de $X\times X.$ Para calquera $x,y\in X,$ a notación $xRy$ significa que $(x,y)\in R$ mentres "non $xRy$ " significa que $(x,y)\in ̸R.$

A relación $R$ chámase reflexiva se $xRx$ para todo $x\in X$.

De forma equivalente, se ${\mathrm{I}}_X:=\{(x,x):x\in X\}$ denota a relación de identidade en $X$, a relación $R$ é reflexiva se ${\mathrm{I}}_X\subseteq R$.

O peche reflexivo de $R$ é a unión $R\cup {\mathrm{I}}_X,$ que se pode definir equivalentemente como a menor (con respecto a $\subseteq$) relación reflexiva en $X$ que é un superconxunto de $R.$ Unha relación $R$ é reflexiva se e só se é igual ao seu peche reflexivo.

A redución reflexiva ou kernel irreflexivo de $R$ é a relación máis pequena (con respecto a $\subseteq$) en $X$ que ten o mesmo peche reflexivo que $R.$ É igual a $R\setminus {\mathrm{I}}_X=\{(x,y)\in R:x\ne y\}.$

A redución reflexiva de $R$ pode, en certo sentido, ser vista como unha construción que é o "oposto" ao peche reflexivo de $R.$ Por exemplo, o peche reflexivo da desigualdade estrita canónica $<$ nos reais $ℝ$ é a desigualdade non estrita habitual $\le$ mentres que a redución reflexiva de $\le$ é $<.$

Definicións relacionadas

Hai varias definicións relacionadas coa propiedade reflexiva. A relación $R$ chámase:

Modelo:Visible anchor, Modelo:Visible anchor

se non relaciona ningún elemento consigo mesmo; é dicir, se $xRx$ non vale para ningún $x\in X.$ Unha relación é irreflexiva se e só se é o seu complemento en $X\times X$ é reflexivo. Unha relación asimétrica é necesariamente irreflexiva. Unha relación transitiva e irreflexiva é necesariamente asimétrica.

Modelo:Visible anchor

se sempre que $x,y\in X$ son tal que $xRy,$ entón necesariamente $xRx.$

Modelo:Visible anchor

se sempre que $x,y\in X$ son tal que $xRy,$ entón necesariamente $yRy.$

Modelo:Visible anchor

se cada elemento que forma parte dalgunha relación está relacionado consigo mesmo. Explicitamente, isto significa que sempre que $x,y\in X$ sexan tal que $xRy,$ entón necesariamente $xRx$ e $yRy.$ De forma equivalente, unha relación binaria é case-reflexiva se e só se é case reflexiva pola esquerda e quase-reflexiva pola dereita. Unha relación $R$ é case- reflexiva se e só se o seu peche simétrico $R\cup R^{\mathrm{T}}$ é pola esquerda (ou pola dereita) case reflexivo.

antisimétrica

se sempre que $x,y\in X$ son tal que $xRy\text{ e }yRx,$ entón necesariamente $x=y.$

Modelo:Visible anchor

se sempre que $x,y\in X$ son tal que $xRy$ entón necesariamente $x=y.$Modelo:Sfn Unha relación $R$ é coreflexiva se e só se o seu peche simétrico é simétrica.

Unha relación reflexiva nun conxunto non baleiro $X$ non pode ser irreflexiva, nin asimétrica ($R$ chámase Modelo:Em se $xRy$ non implica $yRx$), nin antitransitiva ($R$ é Modelo:Em se $xRy\text{ e }yRz$ implica non $xRz$).

Representación

Sexa $R$ unha relación reflexiva ou antirreflexiva aplicada sobre un conxunto A, entón R ten unha representación particular para cada forma de describir unha relación binaria.

Notación	Relación reflexiva	Relación antirreflexiva
Como pares ordenados	$\mathrm{\forall }x\in A,(x,x)\in R$	$\mathrm{\forall }x\in A,(x,x)\notin R$
Como matriz de adxacencia	A diagonal principal da matriz conterá só 1's, é dicir, $\mathrm{\forall }i=\{1,...,n\},(a_{i,i}{)}_{n\times n}=1.$	A diagonal principal da matriz conterá só 0's, é dicir, $\mathrm{\forall }i=\{1,...,n\},(a_{i,i}{)}_{n\times n}=0.$
Como grafo	O grafo conterá bucles en todos os seus nodos.	O grafo non conterá bucles en ningún dos seus nodos.

Exemplos

Exemplos de relacións reflexivas inclúen:

• "é igual a" (igualdade)
• "é un subconxunto de"
• "divide a" (divisibilidade)
• "é maior ou igual a"
• "é menor ou igual a"

Exemplos de relacións irreflexivas inclúen:

• "non é igual a"
• "é coprimo a" nos enteiros maiores que 1
• "é un subconxunto propio de"
• "é maior que"
• "é menor que"

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro (Online corrected edition, Feb 2010)
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Relación simétrica.
• Relación transitiva.
• Relación de equivalencia.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer

Modelo:Control de autoridades