Teorema do binomio

Modelo:Image frame En álxebra elemental, o teorema do binomio (ou expansión binomial) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio Modelo:Math nunha suma que implique termos da forma Modelo:Math, onde os expoñentes Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son enteiros non negativos con Modelo:Math e o coeficiente Modelo:Mvar de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de Modelo:Mvar e Modelo:Mvar . Por exemplo, para Modelo:Math, $(x + y)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} .$ O coeficiente Modelo:Mvar no termo de Modelo:Math coñécese como coeficiente binomial $(\binom{n}{b})$ ou $(\binom{n}{c})$ (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar Modelo:Mvar e Modelo:Mvar pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde $(\binom{n}{b})$ dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de Modelo:Mvar elementos que se poden escoller entre un conxunto de Modelo:Mvar elementos, e de aí podemos ler "Modelo:Mvar sobre Modelo:Mvar" ou "Modelo:Mvar en Modelo:Mvar".

Teorema

Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa Modelo:Mvar do binomio Modelo:Math é unha suma da forma $(x + y)^{n} = (\binom{n}{0}) x^{n} y^{0} + (\binom{n}{1}) x^{n - 1} y^{1} + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} y^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) x^{1} y^{n - 1} + (\binom{n}{n}) x^{0} y^{n},$ onde cada un $(\binom{n}{k})$ é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido como $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{k (k - 1) (k - 2) \dots 2 \cdot 1} .$ Usando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa como $(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .$ Para o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo: $(x - y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} .$

Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo Modelo:Math por Modelo:Mvar, de xeito que só implica unha única variábel: $\begin{matrix} (1 + x)^{n} & = (\binom{n}{0}) x^{0} + (\binom{n}{1}) x^{1} + (\binom{n}{2}) x^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) x^{n - 1} + (\binom{n}{n}) x^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} . \end{matrix}$

Exemplos

Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial: $\begin{matrix} (x + y)^{0} & = 1, \\ (x + y)^{1} & = x + y, \\ (x + y)^{2} & = x^{2} + 2 x y + y^{2}, \\ (x + y)^{3} & = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}, \\ (x + y)^{4} & = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}, \\ (x + y)^{5} & = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}, \\ (x + y)^{6} & = x^{6} + 6 x^{5} y + 15 x^{4} y^{2} + 20 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y^{4} + 6 x y^{5} + y^{6}, \\ (x + y)^{7} & = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}, \\ (x + y)^{8} & = x^{8} + 8 x^{7} y + 28 x^{6} y^{2} + 56 x^{5} y^{3} + 70 x^{4} y^{4} + 56 x^{3} y^{5} + 28 x^{2} y^{6} + 8 x y^{7} + y^{8} . \end{matrix}$

os expoñentes de Modelo:Mvar nos termos son Modelo:Math Modelo:Math (o último termo contén implicitamente Modelo:Math );
os expoñentes de Modelo:Mvar nos termos son Modelo:Math Modelo:Math (o primeiro termo contén implicitamente Modelo:Math );
os coeficientes forman a Modelo:Mvar ésima fila do triángulo de Pascal;
hai Modelo:Math termos, e os seus coeficientes suman Modelo:Math .

Coeficientes binomiais

Modelo:Artigo principal Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse coeficientes binomiais . Estes adoitan escribirse $(\binom{n}{k}),$ e pódese ler como "Modelo:Mvar sobre Modelo:Mvar", combinacións de Modelo:Mvar elementos tomados en grupos de Modelo:Mvar elementos.

O coeficiente de Modelo:Math vén dado pola fórmula $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .$ O coeficiente binomial $(\binom{n}{k})$ pódese interpretar como o número de formas de escoller Modelo:Mvar elementos dun conxunto de Modelo:Mvar elementos.

Xeneralizacións

Teorema binomial xeneralizado de Newton

Modelo:Artigo principal Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:

(x + y)^{r} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{r}{k}) x^{r - k} y^{k}

onde $r$ pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto:

(\binom{r}{k}) = \frac{1}{k!} \prod_{n = 0}^{k - 1} (r - n) = \frac{r (r - 1) (r - 2) \dots (r - k + 1)}{k!} = \frac{r!}{(r - k)! k!}

Expresado co símbolo de Pochhammer: $(\binom{r}{k}) = \frac{r^{\underline{k}}}{k!}$ .

Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos $x$ e $y$ sexan suficientemente próximos, no sentido de que $x > y$ e o valor absoluto de $| \frac{x}{y} |$ sexa menor que 1.

A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:

\frac{1}{(1 - x)^{r}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{r + k - 1}{k}) x^{k}

Exemplos (lembrando que $| x | < 1$ ):

\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} - \frac{5}{128} x^{4} + \frac{7}{256} x^{5} - \dots .

\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} - \frac{5}{16} x^{3} + \frac{35}{128} x^{4} - \frac{63}{256} x^{5} + \dots .

Teorema Multinomial

Modelo:AP O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m}^{k_{m}} .

Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde $k_{1}$ ata $k_{m}$ de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a $n$ . Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \dots k_{m}!} .

Desde o punto de vista da combinatoria, o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de $n$ elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$

Teorema multi-binomial

A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión, usar produtos de expresións binomiais:

(x_{1} + y_{1})^{n_{1}} \dots (x_{d} + y_{d})^{n_{d}} = \sum_{k_{1} = 0}^{n_{1}} \dots \sum_{k_{d} = 0}^{n_{d}} (\binom{n_{1}}{k_{1}}) x_{1}^{k_{1}} y_{1}^{n_{1} - k_{1}} \dots (\binom{n_{d}}{k_{d}}) x_{d}^{k_{d}} y_{d}^{n_{d} - k_{d}} .

A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:

(x + y)^{α} = \sum_{ν \leq α} (\binom{α}{ν}) x^{ν} y^{α - ν} .

Regra xeral de Leibniz

A regra xeral de Leibniz dá a derivada Modelo:Mvar-ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio: ^[1] $(f g)^{(n)} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} (x) g^{(k)} (x) .$ Aquí, o superíndice Modelo:Math indica a derivada Modelo:Mvar-ésima dunha función, $f^{(n)} (x) = \frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x)$ .^[2]

Aplicacións

Identidades de ángulos múltiples

Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de De Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre, $\cos (n x) + i \sin (n x) = {(\cos x + i \sin x)}^{n} .$ e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemplo ${(\cos x + i \sin x)}^{2} = \cos^{2} x + 2 i \cos x \sin x - \sin^{2} x = (\cos^{2} x - \sin^{2} x) + i (2 \cos x \sin x),$ Mais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con $(\cos x + i \sin x)^{2} = \cos (2 x) + i \sin (2 x)$ , así $\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x and \sin (2 x) = 2 \cos x \sin x,$ que son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa que ${(\cos x + i \sin x)}^{3} = \cos^{3} x + 3 i \cos^{2} x \sin x - 3 \cos x \sin^{2} x - i \sin^{3} x,$ A fórmula de De Moivre resulta $\cos (3 x) = \cos^{3} x - 3 \cos x \sin^{2} x and \sin (3 x) = 3 \cos^{2} x \sin x - \sin^{3} x .$ En xeral, $\cos (n x) = \sum_{k par} (- 1)^{k / 2} (\binom{n}{k}) \cos^{n - k} x \sin^{k} x$ e $\sin (n x) = \sum_{k impar} (- 1)^{(k - 1) / 2} (\binom{n}{k}) \cos^{n - k} x \sin^{k} x .$ Tamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.

Serie para e

O [[Número e|número Modelo:Mvar]] adoita definirse pola fórmula $e = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} .$ Aplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para Modelo:Mvar: ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 1 + (\binom{n}{1}) \frac{1}{n} + (\binom{n}{2}) \frac{1}{n^{2}} + (\binom{n}{3}) \frac{1}{n^{3}} + \dots + (\binom{n}{n}) \frac{1}{n^{n}} .$ O Modelo:Mvar-ésimo termo desta suma é $(\binom{n}{k}) \frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!} \cdot \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{n^{k}}$ Cando Modelo:Math, a expresión racional da dereita achégase a Modelo:Math, e polo tanto $\lim_{n \to \infty} (\binom{n}{k}) \frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!} .$ Isto indica que Modelo:Mvar pódese escribir como unha serie: $e = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots .$

Probabilidade

O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes ${X_{t}}_{t \in S}$ con probabilidade de éxito $p \in [0, 1]$ nos que non aconteza ningún sería

P (⋂_{t \in S} X_{t}^{C}) = (1 - p)^{| S |} = \sum_{n = 0}^{| S |} (\binom{| S |}{n}) (- p)^{n} .

Un límite superior para esta cantidade é $e^{- p | S |} .$ ^[3]

En álxebra abstracta

O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos Modelo:Math e Modelo:Math nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que Modelo:Math. Por exemplo, vale para dúas matrices Modelo:Math, sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. ^[4]

Notas

Modelo:Reflist Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:SpringerEOM
Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Modelo:Control de autoridades

↑ Modelo:Cita libro
↑ Modelo:Cite book
↑ Modelo:Cite book
↑ Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

[1] Modelo:Cita libro

[2] Modelo:Cite book

[3] Modelo:Cite book

[4] Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

[1]

[2]

[3]

[4]

Teorema do binomio

Índice

Teorema

Exemplos

Coeficientes binomiais

Xeneralizacións

Teorema binomial xeneralizado de Newton

Teorema Multinomial

Teorema multi-binomial

Regra xeral de Leibniz

Aplicacións

Identidades de ángulos múltiples

Serie para e

Probabilidade

En álxebra abstracta

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Teorema do binomio

Teorema

Exemplos

Coeficientes binomiais

Xeneralizacións

Teorema binomial xeneralizado de Newton

Teorema Multinomial

Teorema multi-binomial

Regra xeral de Leibniz

Aplicacións

Identidades de ángulos múltiples

Serie para e

Probabilidade

En álxebra abstracta

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Procura